Para o circuito da figura 10.81:

a) Determine a constante de tempo do circuito.

b) Escreva a equação matemática para a tensão υ c depois que a chave é fechada.

c) Determine a tensão υ c depois de transcorrida uma, três e cinco constantes de tempo.

d) Escreva as equações para corrente i c e a tensão V R .

e) Faça um esboço das formas de onda de υ c e i c .

Figura 10.81

Passo 1

Oi pessoal! Vamos iniciar uma seção um tanto intensa, mas não se preocupe, vamos dar passo pequenos e resolver tudo, então:

Como primeiro passo, vamos anotar as informações do problema:

R =   100   k Ω   → 100   x   10 3   Ω

E =   20 V

C =   5   μ F   → 5   x   10 - 6   F

Sempre façam as conversões de unidade nesta etapa, isso evita erros na hora da conta.

Passo 2

Todas as equações que vamos utilizar estão destacadas na seção correspondente, caso se esqueça de alguma, corra lá 🏃‍♂️ e dê uma conferida!

a) Vamos calcular a constante de tempo τ através da relação:

τ =   R   ∙ C

Podemos inserir os valores fornecidos pelo problema, e assim obtermos:

τ =   100   x   10 3   ∙   5   x   10 - 6  

τ =   500   x   10 - 3     s   → 0,5   s

Tenha cuidado com as operações do número com potência de 10, na dúvida, confira!

Passo 3

b) Agora vamos encontrar a expressão matemática para a tensão υ c para a constante de tempo de terminada no item anterior. A expressão geral para υ c é dada por:

υ c =   E   ∙ 1   -   e - t τ

Assim, basta inserir as informações que temos sobre o problema, assim chegamos à:

υ c =   20 ∙   1   -   e -   t 0,5   V

Viu?! Não foi tão difícil assim 😎

Passo 4

c) Agora vamos determinar a tensão υ c para os tempos t =   1 τ   ;   t = 3 τ   e   t =   5 τ .

Para poupar um pouco do trabalho, vamos analisar o expoente da função exponencial:

e - t τ

Como os instantes de tempo que vamos analisar são múltiplos de τ , não há necessidade de calcular t, pois a razão t τ vai ser o fator de multiplicação.

Isso mesmo, não precisamos calcular t! Confira abaixo:

t τ   → p a r a   t = 1 τ ,   t e m o s :   1 τ τ = 1

t τ   → p a r a   t = 3 τ ,   t e m o s :   3 τ τ = 3

t τ   → p a r a   t = 5 τ ,   t e m o s :   5 τ τ = 5

Dessa forma, o expoente, para cada instante, será o valor inteiro obtido acima. Sendo assim, basta inserirmos na equação de υ c   encontrada no item anterior.

υ c   → ( t =   1 τ ) =   20 ∙   1   -   e - 1 =   12,64   V

υ c   → ( t =   3 τ ) =   20 ∙   1   -   e - 3 =   19   V

υ c   → ( t =   5 τ ) =   20 ∙   1   -   e - 5 =   19,87   V

Passo 5

d) Nesse passo, vamos escrever a equação para a corrente i c . De forma análoga ao que foi feito para a tensão υ c , vamos inserir as informações que temos na equação geral da corrente, expressa por:

i c = E R ∙ e -   t τ

Desta forma, obtemos:

i c = 20 100   x   10 3 ∙ e -   t 0,5

i c = 0,2   x   10 - 3 ∙ e -   t 0,5     A   →   i c = 0,2 ∙ e -   t 0,5     m A  

Perceba que o 10 - 3 foi comprimido no prefixo m da unidade A, que quer dizer mili. Confira as ordens de grandeza nos capítulos iniciais do livro!

Passo 6

Ainda no mesmo item, o livro pede que a expressão matemática para V r , então vamos novamente, inserir as informações na equação correspondente, e obtermos:

V r = E ∙   e -   t τ   →   V r = 20 ∙   e -   t 0,5     V

Até esse momento, só precisamos inserir as informações que o problema pede, nas equações já determinadas pelo livro.

Passo 7

υ c e i c . Esse esboço foi construído no software Graph, onde foram inseridas as equações de υ c e i c obtidas nos itens anteriores

Resposta

a) τ =   0,5   s

b) υ c =   20 ∙   1   -   e -   t 0,5   V

c) υ c   → ( t =   1 τ ) =     12,64   V ; υ c   → ( t =   3 τ ) =   19   V ; υ c   → ( t =   5 τ ) =   19,87   V

d) i c = 0,2 ∙ e -   t 0,5     m A ; V r = 20 ∙   e -   t 0,5     V