23.Para o circuito da figura 10.85

a) Determine a expressão matemática para tensão entre os terminais do capacitor após a chave ter sido colocada na posição 1.

b) Repita o item a para a corrente i c .

c)Determine a tensão υ c   e a corrente i c se a chave é colocada na posição 2 e decorrer um tempo igual a cinco constantes de tempo do circuito de carga.

υ c e i c para o intervalo de t = 0 até t = 30   μ s .

Figura 10.85

Passo 1

E aí galerinha! Vamos resolver mais um probleminha de circuitos elétricos. Daquele mesmo jeitinho, devagar e sempre 😋.

Vamos anotar as informações do problema:

R 1 =   100   k Ω   → 100   x   10 3   Ω

R 2 =   390   k Ω   → 390   x   10 3   Ω

E =   80   V

C =   10   p F   → 10   x   10 - 12   F

Aproveitem e façam as conversões de unidades nessa etapa. Evitem erros futuro!

Passo 2

a) Calcular a constante de tempo τ , levaremos em consideração somente o resistor que faz parte da malha fechada, que vamos analisar no primeiro momento:

τ =   R   ∙ C

τ = 100   x   10 3     ∙ 10   x   10 - 12

τ = 1000   x   10 - 9   = 10 3   ∙   10 - 9  

τ = 1   x   10 - 6   = 1   μ s

Passo 3

Ainda no item a – Agora vamos encontrar a expressão matemática para a tensão υ c para a constante de tempo de terminada no item anterior. A expressão geral para υ c é dada por:

υ c =   E   ∙ 1   -   e - t τ

Agora, basta inserir as informações que temos sobre o problema, assim chegamos à:

υ c =   80 ∙   1   -   e -   t 1   x   10 - 6     V

Até aqui, utilizamos o mesmo procedimento dos problemas anteriores 😎

Passo 4

b) Repita o item anterior para a corrente i c . De forma análoga ao que foi feito para a tensão υ c , vamos inserir as informações que temos na equação geral da corrente, que é representada por:

i c = E R e q ∙ e -   t τ

Desta forma, obtemos:

i c = 80 100   x   10 3 ∙ e -   t 1   x   10 - 6  

i c = 0,8   x   10 - 3 ∙ e -   t 1   x   10 - 6   A  

i c = 0,8 ∙ e -   t 1   x   10 - 6       m A

Pronto! Já fizemos dois itens, estamos quase lá! 😊

Passo 5

c) Agora vamos determinar a tensão υ c para os tempos   t =   5 τ , para a chave na posição 2.

Para poupar um pouco do trabalho, vamos analisar o expoente da função exponencial:

e - t τ

Como o instante de tempo que vamos analisar é um múltiplo de τ , não há necessidade de calcular t, pois a razão t τ vai ser o fator de multiplicação, como mostrado abaixo:

t τ   → p a r a   t = 5 τ ,   t e m o s :   5 τ τ = 5

Dessa forma, o expoente da exponencial, será o valor inteiro obtido acima. Sendo assim temos:

υ c   → ( t =   5 τ ) =   80 ∙   1   -   e - 5 =   79,46   V

Passo 6

Ainda no item c - Agora devemos olhar bem para a malha ao qual o problema se refere. Como há dois resistores agora nesta malha, temos que calcular a resistência equivalente.

R e q = R 1 + R 2

R e q = 390 + 100   k Ω =   490   k Ω

R e q =   490   x   10 3   Ω

Escrever a equação para a corrente i c . De forma análoga ao que foi feito para a tensão υ c , vamos inserir as informações que temos na equação geral da corrente, que é representada por:

i c = E R e q ∙ e -   t τ

Desta forma, obtemos:

i c = 80 490   x   10 3 ∙ e -   5

i c = 0,16   x   10 - 3 ∙ e - 5 A  

i c = 1,1     μ A

Passo 7

d)Trace as formas de onda de υ c e i c para o intervalo de t = 0 até t = 30   μ s

Resposta

a) υ c =   80 ∙   1   -   e -   t 1   x   10 - 6     V

b) i c = 0,8 ∙ e -   t 1   x   10 - 6       m A

c) υ c   → ( t =   5 τ ) =     7   V ; i c = 1,1     μ A