Enunciado

No circuito mostrado na Figura 8.1, um indutor de 20 mH está em paralelo com um capacitor de 500 nF, o resistor R está ajustado para amortecimento crítico e I 0 = 120 mA.

a) Calcule o valor numérico de R.

b) Calcule v ( t ) para t ≥ 0 .

c) Determine v ( t ) quando i C t = 0 .

d) Qual é a percentagem da energia inicialmente armazenada que permanece armazenada no circuito no instante em que i C t é igual a zero?

Passo 1

Faaaaala, pessoal!! Bora resolver mais uma questãozinha juntos?

Primeiramente, calcularemos o valor de ω 0 , para que possamos encontrar o valor numérico de R pedido no item (a).

Para isso, utilizaremos a fórmula ω 0 = 1 L C para encontrarmos ω 0 , e a fórmula α = 1 2 R C , para encontrarmos R .

Como L e C foram dados no enunciado, temos que:

ω 0 = 1 20 * 10 - 3 500 * 10 - 9 = 10.000

Como 1 L C = 1 2 R C , podemos afirmar que: α = 10.000 . Desse modo, temos que R :

R = 1 2 ( 10.000 ) ( 500 * 10 - 9 ) = 100   Ω

Passo 2

Partindo para o item (b), observamos que para o circuito em questão, a equação geral de v ( t ) é dada por: v t = D 1 t e - α t + D 2 e - α t .

Como já calculamos o valor de α no passo anterior, já é possível substitui-lo na equação acima, de modo a se obter: v t = D 1 t e - 10000 t + D 2 e - 10000 t

Para calcularmos o valor de D 2 , podemos simplesmente assumir t como 0. Desse modo, teremos:

v 0 = D 2 = 40   V

Já para o valor de D 1 , podemos simplesmente utilizar a seguinte fórmula:

d v d t 0 = D 1 - α D 2 = 1 C   - I 0 - V 0 R

Portanto:

D 1 - 10.000 D 2 = 1 500 * 10 - 9 - 0,12 - 40 100                 →                   D 1 = - 640.000

Desse modo, substituindo na fórmula de v ( t ) temos:

v t = 40 - 640.000 e - 10.000 t   V ,   t ≥ 0

Passo 3

Indo para o item (c), temos que i C t = 0 quando d v d t t = 0 .  

Encontraremos primeiramente d v d t :

d v d t = 64 * 10 8 t - 1040 * 10 3 e - 10.000 t

A partir disso, observamos então que quando d v d t = 0 , temos um determinado valor de t, o qual é determinado por:

64 * 10 8 t 1 = 1040 * 10 3       →         t 1 = 162,5   μ s

Sendo assim, quando i C t = 0 , t = 162,5 μ s . Então, a fórmula de será dada por:

v 162,5 = - 64 e - 1.625 = - 12,6   V

Passo 4

Por fim, para calcularmos a percentagem da energia inicialmente armazenada, devemos primeiramente calcular a energia total, fazendo w 0 :

w 0 = 1 2 500 * 10 - 9 40 2 + 1 2 0,02 0,012 2 = 544   μ J

Segundamente, calcularemos a energia armazenada no circuito, no instante em que i C t é igual a zero. Do item anterior, sabemos que quando isso acontece, t = 162,5   μ s . Desse modo, temos que:

w 162,5   μ s = 1 2 500 * 10 - 9 12,6 2 + 1 2 0,02 12,6 100 2 = 198,5   μ J

Sendo assim, a porcentagem será de: 198,5 544 * 100 = 36,5 %  

Prontinho, pessoal!! Bora resolver mais uma questão juntos?

Resposta

a) R = 100   Ω ;

b) v t = 40 - 640.000 e - 10.000 t   V ,   t ≥ 0 ;

c) v t = - 12,6   V

d) 36,5   %

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