Um circuito em série possui uma frequência de ressonância de 10kHz. A resistência do circuito é 5 Ω, e X C na ressonância é 200 Ω.

a. Determine a largura de banda.

b. Determine as frequências de corte.

c. Determine Q s .

d. Se a tensão de entrada é 30 V ∠ 0 ° , determine as tensões no indutor e no capacitor em forma fasorial.

e. Encontre a potência dissipada na ressonância.

Passo 1

Para calcularmos a largura de banda (BW) devemos primeiro encontrar o valor da indutância (L), através da fórmula: L =   X L 2 π f .

Observação: lembre-se que para circuitos em série: X L = X C .

Sendo assim, a partir dos dados fornecidos no enunciado, temos que:

L =   200 Ω 2 π ( 10 4 H z ) → L = 3183   m H  

Com o valor da indutância encontrado, podemos aplicar na seguinte fórmula de largura de banda: B W =   R 2 π L . Desse modo, teremos:

B W =   5 Ω 2 π 3183   m H   →     B W = 250   H z

Passo 2

As frequências de corte f1 e f2 podem ser determinadas a partir do valor da largura de banda (encontrada no item anterior), bem como da frequência f s (fornecida no enunciado). Sendo assim, temos: f 2 = f s + B W 2 e f 1 = f s - B W 2 .

Portanto:

f 2 = 10.000   H z + 250 2 → f 2 = 10.000 + 125

f 2 = 10.125   H z

f 1 = 10.000 - 250 2 → f 1 = 10.000 - 125

f 1 = 9875   H z

Passo 3

Como o circuito ressonante está em série, podemos afirmar que: X L = X C . Além disso, sabemos que o fator de qualidade ( Q s ) é dado por:

Q s =   p o t ê n c i a   r e a t i v a p o t ê n c i a   m é d i a →   Q s = I 2 X L I 2 R →   Q s =   X L R .

Sendo assim, substituiremos os valores dados no enunciado para achar o fator de qualidade ( Q s   ):

  Q s =   X L R     →   Q s =   200 Ω 5 Ω = 40  

Passo 4

Para calcular as tensões no indutor e no capacitor em forma fasorial, primeiro faremos a seguinte análise: I = E ∠ 0 ° R ∠ 0 ° . Portanto: I = 30   V   ∠   0 ° 5   Ω   ∠   0 ° = 6 A   ∠   0 ° .

Como as correntes no indutor e no capacitor são iguais em módulo, e estão defasadas 180°, temos que as tensões no indutor e no capacitor são, respectivamente:

V L = I ∠   0 ° X L   ∠   90 ° = 6   A   ∠   0 ° 200 Ω   ∠   90 ° = 1200   V   ∠   90 °

  V C = I ∠   0 ° X C   ∠ - 90 ° = 6   A   ∠   0 ° 200 Ω   ∠ - 90 ° = 1200   V   ∠ - 90 °

Passo 5

Sabemos que a potência dissipada na ressonância é dada por: P m á x = I 2 R .

Desse modo, substituindo os valores da corrente (I) encontrada no item anterior, bem como os valores da resistência R dada no enunciado, temos:

P m á x = I 2 R →   P m á x = 6   A 2 5 Ω = 180   W

Resposta

a. B W = 250   H z .

b. f 2 = 10.125   H z e f 1 = 9875   H z .

c. V L = 1200   V   ∠   90 °

  V C = 1200   V   ∠ - 90 ° .

d. Q s = 40 .

e. P m á x = 180   W .