Para o circuito em série visto na Figura 20.51:

a. Calcule o valor de L em milihenries se a frequência de ressonância é 1800 Hz.

b. Calcule X L   e     X C . Qual a comparação entre eles?

c. Determine a intensidade da corrente I r m s na ressonância.

d. Determine a potência dissipada pelo circuito na ressonância.

e. Qual a potência aparente fornecida ao sistema na ressonância?

f. Qual o fator de potência do circuito na ressonância?

g. Calcule o Q do circuito e a largura de banda.

h. Determine as frequências de corte e calcule a potência dissipada pelo circuito nessas frequências.

Passo 1

Fala fala meu povo, tudo certo? Bora lá resolver mais essa questão juntos!!

Primeiramente, vamos começar aqui com o tópico (a). Nós já sabemos que para circuitos em série, o valor de L pode ser calculado através da seguinte fórmula:

f s = 1 2 π L C       →         L =   1 2 π f s 2 C

Sendo assim, substituindo os valores dados no enunciado, temos que:

L =   1 2 π f s 2 C =     1 2 π 1,8   k H z 2 ( 2   μ F ) = 3,91   m H

Passo 2

Já para determinarmos os valores de X L   e     X C , pode-se utilizar as seguintes fórmulas:

X L = 2 π f L e X C = 1 2 π f C .

Sendo assim, com os dados fornecidos pelo enunciado, e com o valor de L calculado no item (a) anterior, podemos substituir na fórmula acima da seguinte maneira:

X L = 2 π f L = 2 π 1,8   k H z 3,91   m H = 44,22   Ω

X C = 1 2 π f C = 1 2 π ( 1,8   k H z ) ( 2   μ F ) = 44,22   Ω

Aqui podemos observar que os valores encontrados são iguais, obtendo-se a seguinte relação entre eles: X L = X C

Passo 3

Nesse item, podemos observar que para calcularmos o valor da corrente contínua I r m s (também chamado de rms ou valor eficaz) na ressonância, devemos primeiro encontrar o valor de E r m s , onde: E r m s = 1 2 e

Sendo assim, podemos substituir o valor de e dado no enunciado, obtendo:

E r m s = 1 2 20   m V = 14,14   m V

Em seguida, substituiremos o valor de E r m s encontrado acima, na fórmula de rms: I r m s = E r m s R

I r m s = E r m s R = 14,14   m V 4,7   Ω = 3,01   m A

Passo 4

Sabemos que a potência dissipada pode ser calculada através da seguinte fórmula: P = I 2 R .

Substituindo o valor de I encontrado no item (c) anterior, e o valor de R dado no circuito da figura, temos que a potência dissipada é igual a:

P = I 2 R = 3,01   m A 2 4,7   Ω = 42,58   μ W

Passo 5

Agora quando falamos da potência aparente (S), que é fornecida ao sistema na ressonância, temos que ela é dada pela seguinte fórmula: S = I 2 R .

Portanto, podemos afirmar que a potência aparente é igual a potência dissipada encontrada no item (d) acima: S = P = 42,58   μ W

Passo 6

Quando falamos do fator de potência ( F p ), temos que ela pode ser obtida em termos da potência, da tensão e da corrente no circuito, de acordo com a seguinte equação:

F p = cos ⁡ θ = P E r m s I r m s

Substituindo o valor da potência encontrada no item (d), e os valores de E r m s   e   I r m s encontradas no item (c), teremos a seguinte equação:

F p = cos ⁡ θ = 42,58 14,14   m V 3,01   m A

F p = cos ⁡ θ = 1

Passo 7

O valor de Q do circuito pode ser obtido através da fórmula: Q s = X L R

Sendo assim, substituindo o valor de X L   encontrado no item (b), teremos:

Q s = X L R = 44,22   Ω 4,7   Ω = 9,41  

Já a largura de banda (BW), é calculada através da seguinte fórmula: B W = f s Q s .

Com o valor da frequência fornecido no enunciado, e o valor do fator de qualidade Q s encontrado acima, podemos calcular a largura de banda da seguinte maneira:

B W = f s Q s       →         B W = 1,8   k H z 9,4 = 191,49   H z

Passo 8

Por fim, temos que as frequências de corte podem ser calculadas através das seguintes fórmulas:

f 2 = 1 2 π R 2 L + 1 2 R L 2 + 4 L C    

f 1 = 1 2 π - R 2 L + 1 2 R L 2 + 4 L C    

Substituindo os valores nas fórmulas acima, teremos:

f 2 = 1 2 π R 2 L + 1 2 R L 2 + 4 L C     =   1 2 π 4,7   Ω 2 ( 3.91   m H ) + 1 2 4,7   Ω 3.91   m H 2 + 4 ( 3.91   m H ) (   2   μ F )    

f 2 = 1 2 π 601,02 + 11,324 * 10 3 = 1897,93   H z

f 1 = 1 2 π - R 2 L + 1 2 R L 2 + 4 L C     =   1 2 π - 4,7   Ω 2 3.91   m H + 1 2 4,7   Ω 3.91   m H 2 + 4 3.91   m H   2   μ F    

f 1 = 1 2 π - 601,02 + 11,324 * 10 3 = 1 710   H z

Já a potência dissipada pelo circuito, nessas frequências encontradas acima, se dá pela seguinte fórmula: P H P F = 1 2 P m á x

Substituindo com o valor de P m á x encontrado no item (e), teremos:

P H P F = 1 2 42,58   μ W = 21,29   μ W

Prontinho, finalizamos essa!!!! Partiu resolver mais uma?

Resposta

a. L = 3,91   m H .

b. X L = X C = 44,22   Ω .

c. I r m s = 3,01   m A .

d. P = 42,58   μ W .

e. S = P = 42,58   μ W .

f. F p = cos ⁡ θ = 1 .

g. Q s = 9,41   e B W = 191,49   H z .

h. f 2 = 1897,93   H z e f 1 = 1710   H z .