Para o circuito visto na Figura 10.107, considere i instante de tempo de 100ms após o fechamento da chave (posição 1) e determine:

a) V a b

b) V a c

c) V c b

d) V d a

e) Se a chave for colocada na posição 2 uma hora mais tarde, qual será o tempo necessário para que Vr2 caia para 20 V?

Figura 10.107

Passo 1

E aí galerinha?! Vamos resolver mais uma questão de circuitos RC.

a) Podemos simplificar um pouco o circuito, calculando a capacitância equivalente entre C 2 e C 3 , pois não tem ponto nenhum entre eles, que prejudique a análise quando unidos. Então C 23 será:

C 23   = C 2   + C 3    

C 23   = 12 + 12 =   24   μ F    

Vamos fazer mais uma contração, para que possamos calcular a constate de tempo do circuito. Essa contração será o cálculo da capacitância total.

C 1   e m   s é r i e   c o m   C 23   →   C T = C 1 ∙ C 23 C 1 + C 23 = 6   μ F

Passo 2

Como a chave está inicialmente ligada ao terminal 1, o que irá vale para o cálculo da constante de tempo, será somente a malha externa. Sendo assim, temos:

τ =   R 1 ∙ C T

τ =   20   x   10 3 ∙ 6   x   10 - 6 =   120     x   10 - 3 s

τ =   120     m s

Assim temos a expressão para υ c , sendo:

υ c =   E ∙ 1 -   e -   t τ

υ c = 100 ∙ 1 -   e -   t 120

Passo 3

Para um tempo t= 100 ms, temos:

υ c = 100 ∙ 1 -   e -   100 120

υ c = 56,39   V

Como o C T está compreendido entre os pontos a e b, temos:

υ a → b = 56,39   V

Passo 4

b) A tensão sobre os pontos a e c, corresponde a tensão sobre o capacitor C 1 . Como C 1 está em série com C 23 , a carga sobre ambos é igual a carga de C T . Como já possuímos a tensão sobre C T , podemos calcular a carga como:

Q T = C T ∙ V c T

Q T = 6 ∙ 56,39 =   338,37   μ C

Isso implica em:

Q 1 = 338,37   μ C

Q 23 = 338,37   μ C

Assim podemos calcular a tensão sobre C 1 .

V c 1 = V a → c   = Q 1 C 1 =   338,37   x   10 - 6 8   x   10 - 6 =   42,3   V

Passo 5

c) A tensão sobre os pontos c e b, corresponde a tensão sobre C 23 , como já sabemos a carga desse capacitor, a tensão corresponderá:

V c 23 = V b → c   = Q 23 C 23 =   338,37   x   10 - 6 24   x   10 - 6 =   14,1   V

Passo 6

d) A tensão sobre os pontos a e d, corresponde a tensão sobre R 1 , que pela lei das malhas, será expresso por:

V R =   E   -   V a → b

Logo,

V R =   100   -   56,39 =   43,61 V

Então:

  V a → d =   43,61   V

Passo 7

e) Se a chave for colocada na posição 2 uma hora mais tarde, qual será o tempo necessário para que Vr2 caia para 20 V?

Com a chave na posição 2, temos um circuito com uma única malha, porém com dois resistores em série, como mostrado abaixo:

Para simplificar nossa analise, vamos expressar no circuito a capacitância total. Como a resistência do circuito mudou, a constante de tempo também se altera, então temos que determinar a nova constante.

τ =   R e ∙ C T

τ =   60   x   10 3 ∙ 6   x   10 - 6 =   36 0     x   10 - 3 s

τ =   360     m s

Para determinar o tempo com que a tensão em R 2 seja 20 V, vamos utilizar uma das leis de Kirchhoff, onde a soma da tensão em cada um dos componentes tem que ser igual a zero. O que nos indica que:

V R 1 + V R 2 =   V C t

Utilizando a primeira lei de Ohm, podemos escrever a tensão como o produto da corrente por resistência, assim temos:

i ∙ R 1 + i ∙ R 2 =   E ∙ 1 -   e -   t τ

Sendo o valor de R 1 a metade de R 2 , podemos escrever:

i ∙ R 2 2 + i ∙ R 2 =   E ∙ 1 -   e -   t τ

assim podemos colocar o R 2 em evidência:

i ∙ R 2 ∙ 3 2 =   E ∙ 1 -   e -   t τ

voltando a olhar esse produto como tensão, temos:

V R 2 ∙ 3 2 =   E ∙ 1 -   e -   t τ

Como sabemos a tensão da fonte (que carregou o capacitor) e a nova constante de tempo, só nos falta encontrar o tempo.

t = τ   l n - V R 2 ∙ 3 E ∙ 2 + 1

assim teremos:

t = 94,45   m s

Resposta

a) V a → b = 56,39   V

b) V a → c   = 42,3   V

c) V b → c   = 14,1   V

d)   V a → d =   43,61   V

e) t = 94,45   m s