(a) Como os componentes de um vetor se transformam sob uma translação de coordenadas ( x - = x ,     y - = y - a ,     z - = z , Figura 1.16a)?

(b) Como os componentes de um vetor se transformam sob uma inversão de coordenadas ( x - = - x ,     y - = - y ,     z - = - z , Figura 1.16b)?

(c) Como o produto vetorial (1.13) de dois vetores se transforma sob inversão? [O produto vetorial de dois vetores é chamado de pseudovetor, devido a este comportamento ‘anômalo’]. O produto vetorial de dois pseudovetores é um vetor ou um pseudovetor? Identifique duas grandezas pseudovetoriais na mecânica clássica.

(d) Como o produto escalar triplo de três vetores se transforma sob inversões? (Tal objeto é chamado de pseudoescalar.)

Passo 1

Faaaala meu povo!! Como vocês estão? Bora lá resolver mais uma questãozinha?

Começaremos falando do enunciado (a), onde os vetores foram descolados sobre o eixo y .

Quando há a translação de coordenadas, os componentes não são alterados. Apenas a posição será modificada. Portanto:

A x - = A x ,   A y - = A y , A z - = A z

Passo 2

Falando agora do enunciado (b), os componentes passam pela inversão de sentido seguindo:

A → - A , ou seja:

A x - = - A x ,   A y - = - A y , A z - = - A z

Passo 3

No enunciado (c) observamos a seguinte propriedade:

A × B → - A × - B = ( A × B ) .

Isso é, se C = A × B ,     e n t ã o   C → C . Sem sinal de menos, diferente do comportamento de um vetor “ordinário”, como foi dado no enunciado (b). Se A   e   B são pseudovetores, então A × B → A × B = ( A × B ) . Então os produtos cruzados de dois pseudovetores são mais uma vez um pseudovetor. No produto cruzado de um vetor e um pseudovetor, um muda de sinal, o outro não, e, portanto, o produto cruzado é por si só um vetor.

Sobre as grandezas pseudovetorias na mecânica, podemos citar o Momento Angular ( L = r × p ) e o Torque ( N = r × F ) .

Passo 4

Para finalizar, falaremos sobre o produto triplo de três vetores:

A × B × C → - A × - B × - C = - A × B × C .

Então, se a = A × ( B × C ) , então a → - a .

Um pseudoescalar muda o sinal sob a inversão de coordenadas.

Prontinho, pessoal!! Bora resolver mais uma questão juntos?

Resposta

(a) Os componentes não são alterados ( A x - = A x ,   A y - = A y , A z - = A z ).

(b) A → - A , no sentido ( A x - = - A x ,   A y - = - A y , A z - = - A z ).

(c) Comportamento: A × B → - A × - B = ( A × B ) . O produto é um pseudovetor. Exemplos da mecânica: Momento Angular e Torque.

(d) Um pseudoescalar muda o sinal sob a inversão de coordenadas.