(a) Como os componentes de um vetor se transformam sob uma translação de coordenadas (, Figura 1.16a)?
(b) Como os componentes de um vetor se transformam sob uma inversão de coordenadas (, Figura 1.16b)?
(c) Como o produto vetorial (1.13) de dois vetores se transforma sob inversão? [O produto vetorial de dois vetores é chamado de pseudovetor, devido a este comportamento ‘anômalo’]. O produto vetorial de dois pseudovetores é um vetor ou um pseudovetor? Identifique duas grandezas pseudovetoriais na mecânica clássica.
(d) Como o produto escalar triplo de três vetores se transforma sob inversões? (Tal objeto é chamado de pseudoescalar.)
Passo 1
Faaaala meu povo!! Como vocês estão? Bora lá resolver mais uma questãozinha?
Começaremos falando do enunciado (a), onde os vetores foram descolados sobre o eixo .
Quando há a translação de coordenadas, os componentes não são alterados. Apenas a posição será modificada. Portanto:
Passo 2
Falando agora do enunciado (b), os componentes passam pela inversão de sentido seguindo:
, ou seja:
Passo 3
No enunciado (c) observamos a seguinte propriedade:
.
Isso é, se . Sem sinal de menos, diferente do comportamento de um vetor “ordinário”, como foi dado no enunciado (b). Se são pseudovetores, então . Então os produtos cruzados de dois pseudovetores são mais uma vez um pseudovetor. No produto cruzado de um vetor e um pseudovetor, um muda de sinal, o outro não, e, portanto, o produto cruzado é por si só um vetor.
Sobre as grandezas pseudovetorias na mecânica, podemos citar o Momento Angular () e o Torque (.
Passo 4
Para finalizar, falaremos sobre o produto triplo de três vetores:
Então, se , então .
Um pseudoescalar muda o sinal sob a inversão de coordenadas.
Prontinho, pessoal!! Bora resolver mais uma questão juntos?
Resposta
(a) Os componentes não são alterados ().
(b) , no sentido ().
(c) Comportamento: . O produto é um pseudovetor. Exemplos da mecânica: Momento Angular e Torque.
(d) Um pseudoescalar muda o sinal sob a inversão de coordenadas.