Para uma configuração de cargas e correntes confinadas dentro de um volume V, mostre que

∫ v   J   d r = d p d t ,

onde p é o momento dipolo total. [Dica: calcule ∫ v   ∇ . x J   d r .   ]

Passo 1

Faaala, galerinha!! Como vocês estão? Partiu resolver mais uma questãozinha?

Primeiramente, resolveremos a expressão d p d t dada no enunciado, através da equação de continuidade:

d p d t = d d t ∫ v   ρ r   d r = ∫ ∂ ρ ∂ t r   d r = - ∫ ∇ . J r   d r

Agora, utilizaremos a regra do produto que diz que ∇   .   x J = x ∇   .   J + J   .   ( ∇ x )

Porém, ∇ x = x ^ , então: ∇   .   x J = x ∇   .   J + J x

Portanto, ∫ v   ∇   .   J x   d r = ∫ v   ∇   .   x J   d r - ∫ v   J x   d r

Passo 2

A partir do teorema de divergência, o primeiro termo é: ∫ S   x J   .   d a ; e como J é inteiramente dentro de V, a superfície de S é zero.

Portanto, ∫ v   ∇   .   J x   d r = - ∫ v   J x   d r , ou, combinando isso com os componentes y e z:

∫ v   ∇   .   J r   d r = - ∫ v   J d r

Ou, referindo-se de novo ao primeiro passo:

d p d t = ∫     J   d r ,   c o m o   q u e r í a m o s   d e m o n s t r a r

Prontinho, pessoal!! Bora resolver mais uma questão juntos?

Resposta

∫ v   ∇   .   J r   d r = - ∫ v   J d r     →     d p d t = ∫ J   d r   c o m o   q u e r í a m o s   d e m o n s t r a r