Para a configuração do Problema 10.13, encontre os campos elétrico e magnético no centro. A partir da sua fórmula para B , determine o campo magnético no centro de uma espira circular pela qual passa uma corrente estacionária I , e compare sua resposta com o resultado do Exemplo 5.6.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Então, a carga gira em um círculo de raio R. A velocidade, posição, aceleração e o vetor u → são dados por:

w → t = R cos ⁡ ω t x ^ + R s e n ⁡ ω t y ^

v → t = - ω R s en ⁡ ω t x ^ + R ω cos ⁡ ω t y ^

l → t = - w → = - R cos ⁡ ω t x ^ - R s e n ⁡ ω t y ^

a → t = - ω 2 R cos ⁡ ω t x ^ - ω 2 R s e n ⁡ ω t y ^

E o vetor   u → tem uma particularidade,

  u → = c l → t - v → t = - c cos ⁡ ω t x ^ - c sen ⁡ ω t y ^ + ω R sen ⁡ ω t x ^ - R ω cos ⁡ ω t y ^ .

Agora precisamos colocar isso na fórmula do campo elétrico:

E → = q 4 π ϵ 0 l l → ∙ u → 3 c 2 - v 2 u → + l → × u → × a →

Passo 2

Tendo o cuidado de avaliar todas as quantidades em tempo retardado! Vamos agora calculá-los:

l = R

l → ∙ u → = R c cos 2 ⁡ ω t r + R c sen 2 ⁡ ω t r = R c

c 2 - v 2 u → = c 2 - R 2 ω 2 u →

l → × u → × a → = u → l → ∙ a → - a → l → ∙ u → = u → R 2 ω 2 - R c a →

c 2 - v 2 u → + l → × u → × a → = c c u → - a → R

Colocando tudo isso na fórmula do campo elétrico, obtemos o seguinte:

E → = μ 0 R 4 π R 2 c u → - a → R

Desenvolvendo os termos,

E → = μ 0 R 4 π R 2 x ^ R 2 ω 2 - c 2 cos ⁡ ω t r + R ω c sin ⁡ ω t r + y ^ R 2 ω 2 - c 2 sen ⁡ ω t r - R ω c cos ⁡ ω t r

Agora, o campo magnético. Tanto o l → e o campo elétrico estão no plano x y , então o campo magnético deve estar na direção z:

B → = 1 c l → × E → = 1 c z ^ E y - cos ⁡ ω t r - - sin ⁡ ω t r E x = μ 0 4 π ω q R z ^

O campo magnético é estático, independente do tempo! Para o loop de corrente, seja q = λ 2 π R e ω = v / R e I = λ v , portanto,

B → = μ 0 I 2 R z ^

Resposta

E → = μ 0 R 4 π R 2 x ^ R 2 ω 2 - c 2 cos ⁡ ω t r + R ω c sin ⁡ ω t r + y ^ R 2 ω 2 - c 2 sen ⁡ ω t r - R ω c cos ⁡ ω t r

B → = μ 0 4 π ω q R z ^

B → = μ 0 I 2 R z ^