Enunciado

Considerando o circuito da Figura 12.74:

a) determine as expressões matemáticas para a corrente i l e a tensão v l quando a chave é fechada.

b) repita o item (a) se a chave for aberta após a passagem de cinco constantes de tempo.

c) esboce as formas de onda para os itens (a) e (b) no mesmo gráfico.

Passo 1

Bora pra mais exercício de circuito RL. Para esse exercício vamos fazer igual já fizemos anteriormente, calcular o equivalente de thévenin primeiro para facilitar nossa vida e depois calcular as expressões para tensão e corrente no indutor.

Primeiro vamos calcular Rth (lembrando que calculamos com a chave fechada). Olhando dos terminais do indutor, R t h = R 1 = 10 k Ω , pois o resistor R2 fica "pendurado". Assim:

R t h = 10 k Ω

Agora para descobrirmos o Vth ficou fácil! Já que temos o R2 em paralelo com a fonte, a tensão Vth é a tensão em cima de R2, ou seja, a própria fonte! mole!

V t h = E = 20 V

Agora já conseguimos calcular o τ conhecendo a resistência e a indutância:

τ = L R t h = 1 μ s

Passo 2

Vamos escrever a expressão de corrente para os indutores. Como neste caso não há corrente inicial basta usar a equação mais simples:

i l = V t h R t h ( 1 - e - t / τ )

Substituindo os valores que conhecemos:

i l = 20 10 k ( 1 - e - t / 1 μ ) = 2 m A ( 1 - e - t / 1 μ )

Para calcular a tensão é a mesma coisa. Vamos escrever a fórmula da tensão:

v l = V t h ( e - t / τ )

Já conhecemos todas as variáveis então é só reescrever:

v l = 20 V ( e - t / 1 μ )

Mole né? Bora que não acabou o exercício ainda

Passo 3

Abrindo a chave, o indutor descarrega através de R1 e de R2, ou seja, vamos ter que recalcular o τ :

τ = L R 1 + R 2 = 0.5 μ s

Agora é só jogar nossos valores na equação da descarga da corrente e da tensão. Vamos começar pela da corrente e substituir os valores que conhecemos ( I = 2 m A , τ = 0.5 μ s ):

i l = I ( e - t / τ ) → i l = 2 m A ( e - t / 0.5 μ )

Pronto, temos a corrente. Agora vamos escrever a equação da tensão na descarga e substituir os valores:

v l = - I * ( R 1 + R 2 ) ( e - t / τ ) → v l = - 40 V ( e - t / 0.5 μ )

Matamos o problema! Agora só falta desenhar:

Passo 4

Esboçando o gráfico com os valores que conhecemos fica assim:

Resposta

a) i l = 2 m A ( 1 - e - t / 1 μ ) v l = 20 V ( e - t / 1 μ )

b) i l = 2 m A ( e - t / 0.5 μ ) v l = - 40 V ( e - t / 0.5 μ )

c)

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