Enunciado

Considerando o circuito da Figura 12.75:

a) Escreva uma a expressão matemática para a corrente i l e a tensão v l quando a chave é fechada.

b) Determine as expressões matemáticas para i l e v l se a chave for aberta após se passarem cinco constantes de tempo.

c) esboce as formas de onda para os itens (a) e (b) no mesmo gráfico.

d) Esboce a forma de onda para a tensão em R2 para o intervalo estabelecido no item anterior.

Passo 1

Bora bora, mais exercício! Vamos começar esse exercício diferente? Vamos começar redesenhando o circuito para facilitar nossa análise, pois do jeito que ele tá desenhado é um pouquinho confuso.

Com o circuito redesenhado fica mais fácil de interpretar o problema, né? Vamos fazer o equivalente de thévenin para facilitar ainda mais pra gente. Vamos calcular Rth (lembrando que calculamos com a chave fechada). Olhando dos terminais do indutor, R t h = R 1 = 6.8 k Ω , pois o resistor R2 fica paralelo com um curto circuito, ou seja, fora da jogada. Assim:

R t h = 6.8 k Ω

Agora para descobrirmos o Vth ficou fácil! Já que temos o R2 em paralelo com a fonte, a tensão Vth é a tensão em cima de R2, ou seja, a própria fonte! mole!

V t h = E = 6 V

Agora já conseguimos calcular o τ conhecendo a resistência e a indutância:

τ = L R t h = 0.74 μ s

Bora calcular a tensão agora no próximo passo!

Passo 2

Vamos escrever a expressão de corrente para os indutores. Como neste caso não há corrente inicial basta usar a equação mais simples:

i l = V t h R t h ( 1 - e - t / τ )

Substituindo os valores que conhecemos:

i l = 6 6.8 k ( 1 - e - t / 1 μ ) = 0.88 m A ( 1 - e - t / 0.74 μ )

Para calcular a tensão é a mesma coisa. Vamos escrever a fórmula da tensão:

v l = V t h ( e - t / τ )

Já conhecemos todas as variáveis então é só reescrever:

v l = 6 V ( e - t / 0.74 μ )

Mole né? Bora que tem mais 3 letras pra fazer ainda

Passo 3

Abrindo a chave, o indutor descarrega através de R1 e de R2, ou seja, vamos ter que recalcular o τ :

τ = L R 1 + R 2 = 0.33 μ s

Agora é só jogar nossos valores na equação da descarga da corrente e da tensão. Vamos começar pela da corrente e substituir os valores que conhecemos (lembrando que a corrente é a mesma e o τ a gente recalculou):

i l = I ( e - t / τ ) → i l = 0.88 m A ( e - t / 0.33 μ )

Pronto, temos a corrente. Agora vamos escrever a equação da tensão na descarga e substituir os valores:

v l = - I * ( R 1 + R 2 ) ( e - t / τ ) → v l = - 13.23 V ( e - t / 0.33 μ )

Matamos o problema! Agora só falta desenhar:

Passo 4

Esboçando os 2 gráficos com os valores que conhecemos fica assim:

Resposta

a) i l = 0.88 m A ( 1 - e - t / 0.74 μ ) v l = 6 V ( e - t / 0.74 μ )

b) i l = 0.88 m A ( e - t / 0.33 μ ) v l = - 13.23 V ( e - t / 0.33 μ )

c)

d)

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