Considere o capacitor que está sendo carregado no Problema 7.31.

(a) Encontre os campos elétricos e magnético na abertura, como funções da distância s ao eixo e ao tempo t . (Assuma que a carga é nula em t = 0 .)

(b) Encontre a densidade de energia u e m e o vetor de Poynting S na abertura. Observe especificamente a direção de S . Verifique se a Equação 8.14 é satisfeita.

(c) Determine a energia total na abertura, como função do tempo. Calcule a potência total que flui para a abertura, integrando o vetor de Poynting sobre a superfície adequada. Verifique se a entrada de potência é igual à taxa de aumento de energia na abertura (Equação 8.9 – neste caso W = 0 , porque não há carga na abertura). [Se você está preocupado com os campos marginais, faça-o sobre um volume de raio b < a bem dentro da abertura.]

Passo 1

Falaaa, meu querido/ minha querida!! Na letra (a) vamos usar o resultado do Problema 7.34, que é semelhante a este e nos fornece o campo elétrico e magnético.

Nas outras letras, irei explicar conforme formos resolvendo passo a passo. Bora lá!!!

Passo 2

Pelo Problema 7.34, os campos magnético e elétrico são:

E → = I t ϵ 0 A x ^

B → = μ 0 I 2 s A ϕ ^

Passo 3

Calculando a densidade de energia:

u = ϵ 0 2 E 2 + 1 2 μ 0 B 2

u = 1 2 ϵ 0 I t A 2 + μ 0 4 I s A 2

Onde A é a área das placas.

Calculando o vetor de Poynting para podermos verificar a Equação 8.14:

S → = 1 μ 0 E → × B →

= I 2 t s 2 ϵ 0 A 2 z ^ × ϕ ^

= I 2 t s 2 ϵ 0 A 2 - s ^

S → = - I 2 t s 2 ϵ 0 A 2 s ^

A Equação 8.14 que o enunciado se refere é a conservação de energia.

∇ ∙ S → = - ∂ u ∂ t

Calculando ∇ ∙ S → .

∇ ∙ S → = 1 2 ∂ ∂ s ( s S )

= - 1 2 ∂ ∂ s s I 2 t s 2 ϵ 0 A 2

∇ ∙ S → = - I 2 t ϵ 0 A 2

Calculando ∂ u / ∂ t .

∂ u ∂ t = ∂ ∂ t 1 2 ϵ 0 I t A 2 + μ 0 4 I s A 2

= I 2 t ϵ 0 A 2

Logo, a equação foi satisfeita!!!

Passo 4

Para verificarmos se a entrada de potência é igual à taxa de aumento de energia na abertura, precisamos calcular os dois lados da igualdade abaixo:

∂ U ∂ t = P

A energia total dentro de um cilindro de altura w , com raio b < a para evitar os campos marginais.

U = ∫ V u d V = ∫ 0 w ∫ 0 2 π ∫ 0 b u s d s d ϕ d z

= 2 π w ∫ 0 b 1 2 ϵ 0 I t A 2 + μ 0 4 I s A 2 s   d s

= 2 π w 1 2 ϵ 0 I t A 2 + μ 0 4 I s A 2 ∫ a b s 3   d s

U = 2 π μ 0 w I b 2 A 2 c t 2 + b 2 2

Derivando em t .

∂ U ∂ t = 2 π μ 0 w I b 2 A 2 c 2 2 t

= π w ϵ 0 I b A 2 t

Calculando a potência total que flui na abertura sobre a superfície do mesmo cilindro.

P = ∫ 0 2 π ∫ 0 w S b d ϕ d z

= 2 π b π w S

= 2 b π w I 2 t b 2 ϵ 0 A 2

P = π w ϵ 0 I b A 2 t

Portanto, verificamos essa igualdade também!!!

Resposta

  1. E → = I t ϵ 0 A x ^                       B → = μ 0 I 2 s A ϕ ^
  2. u = 1 2 ϵ 0 I t A 2 + μ 0 4 I s A 2                             S → = - I 2 t s 2 ϵ 0 A 2 s ^
  3. U = 2 π μ 0 w I b 2 A 2 c t 2 + b 2 2                       P = π w ϵ 0 I b A 2 t