(a) Considere duas cargas pontuais q , separadas por uma distância de 2 a . Construa o plano equidistante das duas cargas. Integrando o tensor das tensões de Maxwell sobre esse plano, determine a força de uma carga sobre a outra.

(b) Faça o esmo para cargas com sinais opostos.

Passo 1

Falaaa, meu querido/ minha querida!! As cargas e as forças agindo sobre o ponto que queremos entrar a Força total, podem ser analisadas abaixo:

A figura a esquerda representa a letra (a) e a direito a (b). Bora para os cálculos!!!

Passo 2

Na figura da esquerda, o campo elétrico é dado por:

E = 1 4 π ϵ 0 2 Q   s e n   θ h 2 + s 2

Onde, s = tan ⁡ θ h , logo:

E = Q 2 π ϵ 0 s e n   θ h 2 1 + tan 2 ⁡ θ

E = Q 2 π ϵ 0 h 2 s e n   θ cos 2 ⁡ θ

Com o elemento de superfície sendo d a = d x   d y   z ^ = s   d s   d ϕ   z ^ , a força será na direção z .

Logo, só teremos a componente T z z . E a força magnética fica:

d F = T z z s   d s   d ϕ

d F = - ϵ 0 2 E x 2 + E y 2 s   d s   d ϕ

F = - ϵ 0 2 Q 2 π ϵ 0 h 2 2 ∫ 0 ∞ s d s   s e n 2   θ cos 4 ⁡ θ ∫ 0 2 π d ϕ

F = - 1 4 π ϵ 0 Q 2 h 2 ∫ 0 π 2 s e n 3   θ cos ⁡ θ d θ

= - 1 4 π ϵ 0 Q 2 2 h 2

Portanto, achamos o mesmo resultado que acharíamos usando a lei de Coulomb.

Passo 3

Para a parte direita da figura, a força no plano será em z negativo, teremos de novo apenas T z z . O campo elétrico é:

E = - 2 4 π ϵ 0 Q cos ⁡ θ s 2 + h 2

Onde s = tan ⁡ θ h

E = - Q 2 π ϵ 0 h 2 cos 3 ⁡ θ

Calculando a força:

F = ∫ 0 ∞ ∫ 0 2 π ϵ 0 2 E z 2 s d s   d ϕ

= 1 4 π ϵ 0 Q 2 h 2 ∫ 0 π / 2 cos 3 ⁡ θ s e n   θ   d θ

= 1 4 π ϵ 0 Q 2 2 h 2

Terminamos!!!

Resposta

  1. F = - 1 4 π ϵ 0 Q 2 2 h 2
  2. F = 1 4 π ϵ 0 Q 2 2 h 2