Considere duas cascas esféricas concêntricas de raios a e b . Suponha que a esfera interna tem uma carga q , e que a externa tem uma carga - q (ambas uniformemente distribuídas sobre a superfície). Calcule a energia desta configuração, (a) usando a Equação 2.45, e (b) usando a Equação 2.47 e os resultados do Exemplo 2.8.

Passo 1

Faaaala meu povo!! Como vocês estão? Bora lá resolver mais uma questãozinha?

No enunciado (a), utilizaremos para a energia W :

W = ϵ 0 2 ∫ E 2   d r

Onde:

E = 1 4 π ϵ 0   q r 2   a < r < b ,   z e r o   e m   a l g u m   p o n t o .

Passo 2

Agora desenvolveremos W :

W = ϵ 0 2   q 4 π ϵ 0 2   ∫ a b 1 r 2 2   4 π r 2   d r = q 2 8 π ϵ 0   ∫ a b 1 r 2

W = q 2 8 π ϵ 0   1 a - 1 b

Passo 3

No enunciado (b), aplicaremos a equação 2.47:

W 1 = 1 8 π ϵ 0   q 2 a

W 2 = 1 8 π ϵ 0   q 2 b

E 1 = 1 4 π ϵ 0   q r 2 r ^   ( r > a )

E 2 = 1 4 π ϵ 0   - q r 2 r ^   ( r > b )

Então:

E 1 . E 2 = 1 4 π ϵ 0 2   - q 2 r 4 ,   r > b   e ,   p o r t a n t o ,   ∫ E 1 . E 2   d r = - 1 4 π ϵ 0 2   q 2   ∫ b ∞ 1 r 4 4 π r 2   d r

= - q 2 4 π ϵ 0 b

W t o t a l = q 2 8 π ϵ 0   1 a - 1 b

Prontinho, pessoal!! Bora resolver mais uma questão juntos?

Resposta

(a) W = q 2 8 π ϵ 0   1 a - 1 b

(b) W t o t a l = q 2 8 π ϵ 0   1 a - 1 b