Enunciado

Considere a Figura abaixo e elabore um problema para ajudar outros estudantes a entender melhor a energia em circuitos acoplados.

Passo 1

Vamos trabalhar com o seguinte problema: encontrar I 1 e I 2 do circuito da figura abaixo e posteriormente calcular a potência absorvida pelo resistor de 4   Ω .

Passo 2

Primeiramente vamos substituir o circuito acoplado mutuamente pela fonte dependente equivalente. Primeiro determinaremos as tensões induzidas e, em seguida, definimos os sinais adequados. Sabemos que:

j ω M = j 1   Ω

A corrente I 1 induz uma tensão na segunda bobina representada pelo valor j ω M I 1 , e I 2 induz uma tensão de j ω M I 2 na primeira bobina. Portanto, a tensão induzida na segunda bobina é j 1 I 1 e na primeira bobina é j 1 I 2 .

Para descobrir a polaridade da tensão mútua na bobina 1 devido à corrente I 2 , observamos que I 2 sai pela extremidade do ponto de L 2 induzindo uma tensão em L 1 com um sinal + no lado inferior e um sinal – no lado superior. A corrente I 1 entra em L 1 pelo lado do ponto e induz uma tensão em L 2 com um sinal + no lado superior e um sinal – no lado inferior.

Então o circuito equivalente com as fonte dependentes é mostrado a seguir:

Passo 3

Para a malha 1 da Figura anterior, a LKT fornece:

0 = - 36 ∠ 30 ° + 5 I 1 + j 6 I 1 - j 1 I 2 + 2 I 1 - I 2

36 ∠ 30 ° = 5 I 1 + j 6 I 1 + 2 I 1 - j 1 I 2 - 2 I 2

36 ∠ 30 ° = 7 + j 6 I 1 - 2 + j I 2

Para a malha 2, temos:

0 = 2 I 2 - I 1 - j 1 I 1 + j 3 I 2 - j 4 I 2 + 4 I 2

0 = - 2 I 1 - j 1 I 1 + 2 I 2 + j 3 I 2 - j 4 I 2 + 4 I 2

0 = - 2 + j I 1 + 6 - j I 2

Colocando as equações das malhas na forma matricial, obtemos:

36 ∠ 30 ° 0 = 7 + j 6 - 2 - j - 2 - j 6 - j I 1 I 2

Passo 4

Os determinantes são:

∆ = 7 + j 6 - 2 - j - 2 - j 6 - j = 7 + j 6 6 - j - - 2 - j - 2 - j = 45 + j 25

∆ = 51,48 ∠ 29,05 °

∆ 1 = 36 ∠ 30 ° - 2 - j 0 6 - j = 36 ∠ 30 ° 6 - j - 0 - 2 - j = 36 ∠ 30 ° 6,08 ∠ - 9,46 °

∆ 1 = 218,88 ∠ 20,54 °

∆ 2 = 7 + j 6 36 ∠ 30 ° - 2 - j 0 = 7 + j 6 0 - - 2 - j 36 ∠ 30 ° = 2,24 ∠ 26,56 ° 36 ∠ 30 °

∆ 2 = 80,64 ∠ 56,56 °

Portanto, obtemos as correntes de malha como segue:

I 1 = ∆ 1 ∆ = 218,88 ∠ 20,54 ° 51,48 ∠ 29,05 ° = 4,25 ∠ - 8,51 °   A

I 2 = ∆ 2 ∆ = 80,64 ∠ 56,56 ° 51,48 ∠ 29,05 ° = 1,57 ∠ 27,51 °   A

Passo 5

A potência absorvida pelo resistor de 4   Ω

w = 0,5 L 1 i 1 2

Resposta

Portanto, as correntes I 1 e I 2 são:

I 1 = 4,25 ∠ - 8,51 °   A

I 2 = 1,57 ∠ 27,51 °   A

E a potência absorvida pelo resistor de 4   Ω é :

w = 23,1   m J

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