Enunciado

Considere a Figura e elabore um problema para ajudar outros estudantes a entender melhor a transformada de Laplace de uma forma de onda simples e não periódica.

Passo 1

Poxa, existem muitas formas da qual você pode resolver esse problema, ou melhor, cria-lo (). Aqui nós vamos usar essa daqui:

PROBLEMA: Determine a função f t usando o conceito de função degrau. Em seguida, encontre a sua transformada de Laplace.

Passo 2

Bem, como a nossa função é 0 antes de t = 0 (nem aparece no desenho por ser irrelevante) e a função passa a ser a 1 no instante t = 0 , podemos usar o conceito de função degrau para escrever isso:

u t - c = 1 ,       s e     t ≥ c 0 ,       s e     t < c

Então, pelo menos até t = t 1 ...

f t = a 1 u t - 0 = a 1 ,       s e     t ≥ 0       ( e     t < t 1 ) 0 ,       s e     t < 0

SHOW! Quando chegamos em t 1 a função passa a ser a 2 (ela cai a 1 - a 2 ), o que equivale a dizer em notação de degrau que...

f t = a 1 u t - 0 - a 1 - a 2 u t - t 1

Veja que antes de t 1 essa parcela é 0 , já que u t - t 1 = 0 , mas depois de t 1 ela vira 1 então a função vira...

f t = a 1 - a 1 - a 2 = a 2

Que é o que a gente quer ! Mas atenção, ela não fica a 2 para sempre não! Observe na figura que em t 2 , esse degrau cai de a 2 para 0 ( a 2 - 0 ):

O que pode ser representado assim:

f t = a 1 u t - 0 - a 1 - a 2 u t - t 1 - a 2 - 0 u t - t 2 =

a 1 u t - 0 - a 1 - a 2 u t - t 1 - a 2 u t - t 2  

PRONTINHO! Agora a função f t segue 0 para sempre, o que significas que acabamos a nossa missão de descrever a nossa função usando o conceito de função degrau !

Passo 3

Com isso pronto, agora podemos aplicar a transformada de Laplace:

L f t = L a 1 u t - 0 - a 1 - a 2 u t - t 1 - a 2 u t - t 2

Como a 1 e a 2 são constantes...

L f t = a 1 L u t - 0 - a 1 - a 2 L u t - t 1 - a 2 L u t - t 2

Ora, de acordo com a transformada de Laplace da função degrau...

L u t - c = e - c s s

Então...

L f t = a 1 L u t - 0 - a 1 - a 2 L u t - t 1 - a 2 L u t - t 2 →

L f t = a 1 e 0 s - a 1 - a 2 e - t 1 s s - a 2 e - t 2 s s →

L f t = a 1 - a 1 - a 2 e - t 1 s - a 2 e - t 2 s s

E aí esta ela! A transformada de Laplace dos degraus da nossa figura !

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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