Considere o movimento de uma partícula de massa me carga elétrica ge no campo de um monopolo magnético estacionário (hipotético) q m na origem:

B = μ 0 4 π q m r 2 r ^

a) Encontre a aceleração de q e ,   expressando sua resposta em termos de q, q m , m, r (a posição da partícula)e v(sua velocidade).

b) Mostre que a velocidade v   = | v | é uma constante do movimento.

c) Mostre que a quantidade vetorial

Q ≡ m r × v - μ 0 q e q m 4 π r ^

é uma constante do movimento. [Dica: faça a diferenciação com relação ao tempo e prove -usando a equação de movimento de (a) que a derivada é zero. ]

d) Escolhendo coordenadas esféricas ( r ,   θ , ϕ ) , com o eixo polar (z) ao longo de Q.

(i)Calcule     Q . ϕ ^ e mostre que θ   é uma constante do movimento (de forma que q e movimenta-se na superficie de um cone –algo que Poincaré descobriu em 1896):

(ii) Calcule Q . r ^ e mostre que a magnitude de Q é

Q = μ 0 4 π q e q m c o s θ ;

(iii) Calcule     Q . ϕ ^ , mostre que

d ϕ d t = k r 2

E determine K.

e) Expressando v 2 em coordenadas esféricas, obtenha a equação para a trajetória na forma

d r d ϕ = f ( r )

f) Resolva esta equação para r ϕ .

Passo 1

Olá pessoal, bora para mais uma!?

Na letra A temos que:

F = m a = q e v × B = μ 0 4 π q e q m r 2 v × r ^

Isolando a aceleração, temos que:

a = μ 0 4 π q e q m m r 2 v × r ^

Passo 2

Agora na letra B, como a ⊥ v ,   a . v = 0 .   Mas a . v = 1 2 d d t v . v = 1 2 d d t v 2 = v d v d t , assim temos que

d v d t = 0

Agora para letra c, temos que:

d Q d t = m v × v + m r × a - μ 0 q e q m 4 π d d t r r = 0 + μ 0 q e q m 4 π r 3 r × v × r - μ 0 q e q m 4 π v r - r r 2 d r d t

Reescrevendo a expressão acima, temos que:

d Q d t = μ 0 q e q m 4 π v r - r ^ . v r r ^ - v r 2 r . v r   = 0

Passo 3

Agora para a letra d(i), temos que:

Q . ϕ = Q z ^ . ϕ = m r × v . ϕ ^ - μ 0 q e q m 4 π ( r ^ . ϕ ^ )

Mas temos que z ^ . ϕ ^ = r ^ . ϕ ^ = 0   assim, r × v . ϕ ^ = 0 , mas r = r r ^ ,   e   v = d l d t = r ˙ r ^ + r θ ˙ θ ^ + r s i n θ ϕ ˙ ϕ ^   , assim podemos calcular r × v :

r × v = r ^ θ ^ ϕ ^   r 0 0 r ˙ r θ ˙ r s i n θ ϕ ˙ = - r 2 s i n θ ϕ ˙ θ ^ + r 2 θ ˙ ϕ ^

Portanto ( r × v ) ∙ ϕ ^ = r 2 θ ˙ = 0 , assim θ é constante.

Agora d(ii), temos que:

Q . r ^ = Q z ^ . r ^ = m r × v . r ^ - μ 0 q e q m 4 π ( r ^ . r ^ )

Mas como z ^ . r ^ = c o s θ e r × v ⊥ r → r × v . r ^ = 0 , assim Q c o s θ = - μ 0 q e q m 4 π , ou melhor,

Q = - μ 0 q e q m 4 π c o s θ .

E desde que θ é uma constante o mesmo acontece com Q.

Agora para d(iii), temos que:

Q . θ ^ = Q z ^ . θ ^ = m r × v . θ ^ - μ 0 q e q m 4 π ( r ^ . θ ^ )

Mas como

z ^ . θ ^ = Q z ^ . θ ^ = m r × v . θ ^ - μ 0 q e q m 4 π r ^ . θ ^

Mas temos que z ^ . θ ^ = - s i n θ , r ^ . θ ^ = 0   e   r × v . θ ^ = - r 2 s i n θ ϕ ˙ , Assim:

- Q s i n θ = - m r 2 s i n θ ϕ ˙ → ϕ ˙ = Q m r 2 = k r 2

Agora para encontra k, temos que

k ≡ Q m = μ 0 q e q m 4 π m c o s θ

Passo 4

Agora na letra e, temos que:

v 2 = r ˙ 2 + r 2 θ ˙ 2 + r 2 sin 2 ⁡ θ ϕ ˙ 2

Mas sabemos que, θ ˙ = 0 e ϕ ˙ = k r 2 , assim:

r ˙ 2 = v 2 - r 2 sin 2 ⁡ θ   k 2 r 4 = v 2 - k 2 sin 2 ⁡ θ r 2

Ou seja:

d r d ϕ 2 = r ˙ 2 ϕ ˙ 2 = v 2 - k s i n 2 θ r 2 k 2 r 4 = r 2 v r k 2 - sin 2 ⁡ θ

Assim temos que:

d r d ϕ = r v r k 2 - sin 2 ⁡ θ

Agora por último na letra F, temos que:

∫ d r r v r k 2 - sin 2 ⁡ θ = ∫ d ϕ

ϕ - ϕ 0 = 1 s i n θ sec - 1 ⁡ v r k s i n θ

Podemos reescrever a expressão acima, como:

sec ⁡ ϕ - ϕ 0 s i n θ   = v r k s i n θ

Agora isolando para r, temos:

r ϕ = A cos ⁡ ϕ - ϕ 0 s i n θ  

Onde, A = - μ 0 q e q m t a n θ 4 π m v

Resposta

a → a = μ 0 4 π q e q m m r 2 v × r ^

b → M o s t r a d o   n o s   p a s s o s   a c i m a .  

c → M o s t r a d o   n o s   p a s s o s   a c i m a .

d i → M o s t r a d o   n o s   p a s s o s   a c i m a .

d i i → M o s t r a d o   n o s   p a s s o s   a c i m a .

d i i i →   k ≡ Q m = μ 0 q e q m 4 π m c o s θ

e → d r d ϕ = r v r k 2 - sin 2 ⁡ θ

f → r ϕ = - μ 0 q e q m t a n θ 4 π m v cos ⁡ ϕ - ϕ 0 s i n θ