a) Construa o potencial escalar U ( r ) para um dipolo magnético ‘puro’ m.

b) Construa um potencial escalar para a casca esférica giratória (Exemplo 5.11). [Dica: para

r >   R este é um campo dipolar puro, como você pode ver comparando as equações 5.67 e 5.85.]

c) Tente fazer o mesmo para o interior de uma esfera giratória maciça. [Dica: se você resolveu o Problema 5.29, já conhece o campo; iguale-o a - ∇ U ,e resolva para U. Qual é o problema?]

Passo 1

Olá pessoal, bora para mais uma!?

Podemos começar explorando a analogia com o caso elétrico. Assim temos que:

E = 1 4 π ε 0 1 r 3 [ 3 p ∙ r ^ r ^ - p ]

Ou seja, isso é igual a:

E = - ∇ V

Com V = 1 4 π ε 0 p ∙ r ^ r 2 . Assim, podemos expressar para o caso magnético, ou seja:

B = μ 0 4 π 1 r 3 [ 3 m ∙ r ^ r ^ - m ]

E da mesma maneira, temos também:

B = - ∇ U

Agora para finalizar substituímos em V, p / ε 0 → μ 0 m , assim temos que:

U ( r ) = μ 0 4 π m ∙ r ^ r 2

Passo 2

Agora partindo das equações 5.67 e 5.85, expressas abaixo:

A r , θ , ϕ = μ 0 R 4 ω σ 3 s e n θ r 2 ϕ ^ ,   p a r a   r > R

A d i p r = μ 0 4 π m s e n θ r 2 ϕ ^

Podemos comparar estas duas equações e com momento de dipolo de uma casca sendo m = 4 π 3 ω σ R 4 z ^ , Agora usando o resultado encontrado no passo 1 temos que:

U ( r ) = μ 0 4 π 4 π 3 ω σ R 4 z ^ ∙ r ^ r 2

Melhorando a expressão acima, temos que:

U r = μ 0 3 ω σ R 4 r 2 ,   p a r a   r > R

Dentro da esfera casca o campo é uniforme então temos que:

B = 2 3 μ 0 σ ω R z ^

Com isso, conseguimos voltar para U ( r ) , assim:

U r = - 2 3 μ 0 σ ω R z + c o n s t .

Como podemos escolher a constante como sendo zero, temos que:

U r = - 2 3 μ 0 σ ω R z c o s θ ,   p a r a   r < R .

Passo 3

Agora partindo do campo de uma esfera giratória maciça, expresso abaixo:

B = μ 0 ω Q 4 π R   1 - 3 r 3 5 R 2 c o s θ r ^ - 1 - 6 r 2 5 R 2 s i n θ θ ^

Agora podemos igualar o campo a ( - ∇ U ), assim temos que:

μ 0 ω Q 4 π R   1 - 3 r 3 5 R 2 c o s θ r ^ - 1 - 6 r 2 5 R 2 s i n θ θ ^ = - ∇ U

Como temos que:

- ∇ U = - ∂ U ∂ r r ^ - 1 r   ∂ U ∂ θ θ ^ - 1 r s i n θ ∂ U ∂ ϕ ϕ ^

Mas temos que ∂ U ∂ ϕ = 0 .   Assim podemos encontrar as outras duas componentes.

1 r ∂ U ∂ θ = - μ 0 ω Q 4 π R 1 - 6 r 2 5 R 2 s i n θ

Assim temos que:

U ( r , θ ) = - μ 0 ω Q 4 π R 1 - 6 r 2 5 R 2 r c o s θ + f ( r )

Agora o mesmo para r ^ ,   temos:

∂ U ∂ r = - μ 0 ω Q 4 π R 1 - 3 r 3 5 R 2 c o s θ

Com isso temos que:

U r , θ = - μ 0 ω Q 4 π R r - r 3 5 R 2 c o s θ + g ( θ )

Igualando as duas expressões temos que:

- μ 0 ω Q 4 π R 1 - 6 r 2 5 R 2 r c o s θ + f ( r ) = - μ 0 ω Q 4 π R 1 - r 2 5 R 2 r c o s θ + g ( θ )

Colocando μ 0 ω Q 4 π R em evidencia, temos que:

- μ 0 ω Q 4 π R r c o s θ - r 2 5 R 2 + 6 r 2 5 R 2 + f ( r ) = g ( θ )

Por fim temos que:

μ 0 ω Q 4 π R 3 r 3 c o s θ + f ( r ) = g ( θ )

Aqui percebemos que estamos presos, pois não existe maneira de escrever r 3 c o s θ   como uma soma de uma função r e uma função θ . A razão é que você não pode ter um potencial magnético escalar em uma região onde a corrente é diferente de zero.

Assim finalizamos mais uma questão, até a próxima!

Resposta

  1. U ( r ) = μ 0 4 π m ∙ r ^ r 2
  2. U r = - 2 3 μ 0 σ ω R z c o s θ ,   p a r a   r < R .
  3. Justificativa no passo 3