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Consulte o circuito da Figura 8.86 . Calcule i ( t ) para t > 0 .

Passo 1

Vamos lá, galerinha! Da teoria de circuitos, sabemos que componentes como indutor e capacitor se comportam de maneiras diferentes dos resistores quando tem corrente circulando por eles. Para o capacitor, quando sob corrente por um longo tempo, o efeito causado no circuito é um circuito aberto; para o indutor, sob regime permanente, ele passa a funcionar como um curto-circuito. Assim, para o instante t = 0 - , o instante antes de t = 0 , nós temos o seguinte circuito equivalente:

Vamos aplicar um divisor de corrente para encontrarmos o valor de i 1 ( 0 ) .

i 1 0 = R 1 R 1 + R 2 i 0

Substituindo os valores,

i 1 0 = 10 10 + ( 10 + 5 ) 2

i 1 0 = 20 25 = 0,8   A

A tensão v ( 0 ) pode ser calculada através da queda de tensão no resistor de 5   Ω . Assim,

v 0 = 5 i 1

v 0 = 5 ( 0,8 )

v 0 = 4   V

Passo 2

Quando t > 0 , a chave de abre e passamos a ter um circuito RLC série sem fontes! Mas de onde vem o resistor em série? Vamos fazer o equivalente!

O equivalente dos resistores é:

1 R e q = 1 20 + 1 5

R e q = 4   Ω

Vamos agora encontrar as raízes características:

α = R 2 L = 4 2 3 4 = 8 3

ω 0 = 1 L C = 1 3 4 1 3 = 1 1 4 = 2

Como os valores de α e ω 0 são diferentes, temos a resposta natural com amortecimento supercrítico. As raízes são:

s 1,2 = - α ± α 2 - ω 0 2 = - 4,431 ;   - 0,903

Desse modo, podemos escrever a corrente da seguinte forma:

i t = [ A e - 4,431 t + B e - 0,903 t ]

Para t = 0 , temos:

i 0 = A + B = 2

d i 0 d t = 1 L - R i 0 + v 0 = 4 3 - 4 × 2 + 4 = - 16 3

Além disso,

- 16 3 = - 4,431 A - 0,903 B

O que nos leva ao seguinte sistema de equações:

A + B = 2 4,431 A - 0,903 B = - 16 3

Resolvendo esse sistema, temos:

A = 1   e   B = 1

Logo,

i t = e - 4,431 t + e - 0,903 t   A

Resposta

A corrente é igual a:

i t = e - 4,431 t + e - 0,903 t   A

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