Enunciado

Consulte o circuito da Figura 8.86 . Calcule i ( t ) para t > 0 .

Passo 1

Vamos lá, galerinha! Da teoria de circuitos, sabemos que componentes como indutor e capacitor se comportam de maneiras diferentes dos resistores quando tem corrente circulando por eles. Para o capacitor, quando sob corrente por um longo tempo, o efeito causado no circuito é um circuito aberto; para o indutor, sob regime permanente, ele passa a funcionar como um curto-circuito. Assim, para o instante t = 0^- , o instante antes de t = 0 , nós temos o seguinte circuito equivalente:

Vamos aplicar um divisor de corrente para encontrarmos o valor de i_1 ( 0 ) .

i_1 (0) = (R_1)/(R_1 + R_2) i (0)

Substituindo os valores,

i_1 (0) = (10)/(10 + ( 10 + 5 )) 2

i_1 (0) = (20)/(25) = 0,8 A

A tensão v ( 0 ) pode ser calculada através da queda de tensão no resistor de 5 Ω . Assim,

v (0) = 5 i_1

v (0) = 5 ( 0,8 )

v (0) = 4 V

Passo 2

Quando t > 0 , a chave de abre e passamos a ter um circuito RLC série sem fontes! Mas de onde vem o resistor em série? Vamos fazer o equivalente!

O equivalente dos resistores é:

(1)/(R_e q) = (1)/(20) + (1)/(5)

R_e q = 4 Ω

Vamos agora encontrar as raízes características:

alpha = (R)/(2 L) = (4)/(2 ((3)/(4))) = (8)/(3)

omega_0 = (1)/(sqrt(L C)) = (1)/(sqrt(((3)/(4)) ((1)/(3)))) = (1)/(sqrt(((1)/(4)))) = 2

Como os valores de alpha e omega_0 são diferentes, temos a resposta natural com amortecimento supercrítico. As raízes são:

s_1,2 = - alpha +- sqrt(alpha^2 - omega_0^2) = - 4,431 ; - 0,903

Desse modo, podemos escrever a corrente da seguinte forma:

i (t) = [ A e^(- 4,431 t) + B e^(- 0,903 t) ]

Para t = 0 , temos:

i (0) = A + B = 2

(d i (0))/(d t) = ((1)/(L)) [- R i (0) + v (0)] = ((4)/(3)) (- 4 xx 2 + 4) = - (16)/(3)

Além disso,

- (16)/(3) = - 4,431 A - 0,903 B

O que nos leva ao seguinte sistema de equações:

{[[A + B = 2],[4,431 A - 0,903 B = - (16)/(3)]])

Resolvendo esse sistema, temos:

A = 1 e B = 1

Logo,

i (t) = [e^(- 4,431 t) + e^(- 0,903 t)] A

Resposta

A corrente é igual a:

i (t) = [e^(- 4,431 t) + e^(- 0,903 t)] A

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