Enunciado

A corrente em um capacitor de 0,25 F e i = 2 t - 4 V e a tensão inicial e v ( 0 ) = 20 V . (a) Calcule a mínima energia armazenada e o tempo que isto ocorre. (b) Determine a tensão inicial tal que a energia mínima armazenada seja zero.

Passo 1

Iae, meus queridos! Td belezinha? Essa questão é bem parecida com a 7.10, então vamos usar a mesma linha de raciocínio. Vamos lá!

Vamos separar o que a questão nos deu:

Capacitância: C = 0,25 F .

Corrente: i = 2 t - 4 A .

Tensão inicial: v 0 = 20 V .

Temos que ter em mente duas funções.

w t = C v ( t ) 2 2 e v t = 1 c ∫ i d t + v ( 0 ) .

Vamos calcular v ( t ) primeiro.

v t = 1 0,25 ∫ ( 2 t - 4 ) d t + 20 .

v t = 4 t 2 - 16 t + 20   V .

Agora w t .

w t = 0,25 · ( 4 t 2 - 16 t + 20 ) ² 2

w t = 2 t 4 - 16 t 3 + 52 t 2 - 80 t + 50 .

Td certinho até agora? 👍

Passo 2

Para descobrir o valor mínimo, temos que derivar a função de energia armazenada e iguala-la a 0 .

d w t d t = 8 t 3 - 48 t 2 + 104 t - 80 + c t e .

8 t 3 - 48 t 2 + 104 t - 80 = 0

(vamos simplificar os dois lados por 8 para facilitar nossa vida)

t 3 - 6 t 2 + 13 t - 1 0 = 0

Fatorando:

t - 2 t 2 - 4 t + 5 = 0

Isso nos dá:

t - 2 = 0 t 2 - 4 t + 5 = 0

Na primeira equação é simples, trivialmente vemos que t = 2 s .

Na segunda equação, já adianto que não possui raízes reais, portanto o tempo em que a energia armazenada é o menor valor é no tempo t = 2 s .

Agora substituímos t = 2 na função de energia armazenada w t .

w 2 = 2 · 2 4 - 16 · 2 3 + 52 · 2 2 - 80 · 2 + 50

w 2 = 2 J .

Tranquilo, né?

Passo 3

Para encontrarmos a tensão v ( 0 ) , com a qual a energia mínima armazenada seja zero vamos analisar a função de energia armazenada.

w t = C v ( t ) 2 2

Antes, vamos relembrar a equação de tensão v ( t ) .

v t = 1 c ∫ i d t + v ( 0 )

Podemos substituir os valores, menos v ( 0 ) , que vamos encontrar.

v t = 4 t 2 - 16 t + v ( 0 )

Como faremos a energia armazenada abaixar 2 J , manipulando apenas v ( 0 ) ? Vamos substituir os valores.

0 = 0,25 · v ( t ) 2 2

0 = 0,25 · ( 4 t 2 - 16 t + v 0 ) 2 2

4 t 2 - 16 t + v 0 2 = 0

Nessa etapa, vamos substituir t = 2 s para facilitar nossa vida.

4 · 2 2 - 16 · 2 + v 0 2 = 0

- 16 + v 0 2 = 0

v 0 - 16 = 0

v 0 = 16 V .

Foi fácil? Bora pra próxima!

Resposta

a) t = 2 s , w 2 = 2 J .

b) v 0 = 16 V .

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