Dada a equação

y ' ' t + 4 y ' t + 3 y t = 6 x ( t )

onde x ( t ) é a entrada e y ( t ) é a saída, calcule (a) a função de rede, (b) a resposta ao impulso e (c) a resposta ao degrau.

Passo 1

Bora começar essa questão fazendo 3 séries de alongamentos nos antebraços e no pescoço porque esta questão vai ser extensa.

a)

A função de rede, ou função de transferência, é a razão entre a transformada de saída e a transformada de entrada. Sendo assim, vamos começar colocando esta equação no domínio da frequência:

s 2 Y s - s ⋅ y 0 - y ' 0 + 4 s Y s - y 0 + 3 Y s = 6 X s

Como não nos foram dadas condições iniciais, vamos considerar “zero”. Assim, nossa equação se reduz a:

s 2 + 4 s + 3 Y s = 6 X s ⇒ H s = Y ( s ) X ( s ) = 6 s 2 + 4 s + 3

Passo 2

b) A resposta ao impulso consiste na obtenção da função de transferência no domínio do tempo:

H s = 6 s 2 + 4 s + 3 = 6 s + 1 s + 3 = A s + 1 + B s + 3

A = s + 1 H s s = - 1 = 6 s + 3 s = - 1 = 6 - 1 + 3 = 6 2 ⇒ A = 3

B = s + 3 H s s = - 3 = 6 s + 1 s = - 3 = 6 - 3 + 1 = 6 - 2 ⇒ B = - 3

Assim,

H s = 3 s + 1 - 3 s + 3

Logo

h t = 3 e - t - e - 3 t u ( t )

Passo 3

c)

A resposta ao degrau consiste em dividir a função de transferência por s . Assim

R s = H ( s ) s = 6 s ( s 2 + 4 s + 3 ) = 6 s ( s + 1 ) ( s + 3 ) = A s + B s + 1 + C s + 3

A = s R s s = 0 = 6 s + 1 s + 3 s = 0 = 6 1 ⋅ 3 ⇒ A = 2

B = ( s + 1 ) R s s = - 1 = 6 s s + 3 s = - 1 = 6 - 1 ( - 1 + 2 ) = 6 - 1 ⋅ 2 = 6 - 2 ⇒ B = - 3

C = ( s + 3 ) R s s = - 3 = 6 s s + 1 s = - 3 = 6 - 3 ( - 3 + 1 ) = 6 - 3 ⋅ ( - 2 ) = 6 6 ⇒ C = 1

Assim,

R s = 2 s - 3 s + 1 + 1 s + 2   ∴ r t = 2 - 3 e - t + e - 3 t u ( t )

Resposta

a )   H s = Y ( s ) X ( s ) = 6 s 2 + 4 s + 3

b )   h t = 3 e - t - e - 3 t u ( t )

c )   r t = 2 - 3 e - t + e - 3 t u ( t )