Dada a equação

y ' ' t + 2 y ' t + 5 y t = 10 x ( t )

onde y ( t ) e x ( t ) são a saída e a entrada, respectivamente, de um circuito, calcule a função de transferência e a resposta ao degrau.

Passo 1

Uhuuuuu!

Estamos de volta pra começarmos a finalizar estes exercícios de aquecimento. Então, vamos lá!

Vamos começar levando a equação para o domínio da frequência:

s 2 Y s - s ⋅ y 0 - y ' 0 + 2 s Y s - y 0 + 5 Y s = 10 X ( s )

Como não foram dadas as condições iniciais, vamos considera-las zero:

s 2 + 2 s + 5 Y s = 10 X ( s )

Logo

H s = Y ( s ) X ( s ) = 10 s 2 + 2 s + 5

que é a função de transferência.

Passo 2

Vamos calcular agora a resposta ao degrau. Ela é dada pela seguinte equação:

R s = H ( s ) s = 10 s ( s 2 + 2 s + 5 ) = A s + B s + C s 2 + 2 s + 5

Vamos agora calcular os coeficientes. Primeiro vamos calcular A e depois vamos reescrever a equação com o valor de A já calculado e igualar as equações:

A = s ⋅ R s s = 0 = 10 s 2 + 2 s + 5 s = 0 = 10 5 ⇒ A = 2

Voltando à equação das frações parciais e substituindo o valor de A , obtemos:

10 s ( s 2 + 2 s + 5 ) = 2 s + B s + C s 2 + 2 s + 5

10 s ( s 2 + 2 s + 5 ) = 2 s 2 + 2 s + 5 + s ( B s + C ) s ( s 2 + 2 s + 5 )

Como os denominadores são iguais, podemos trabalhar apenas com os numeradores:

10 = 2 s 2 + 4 s + 10 + B s 2 + C s

10 = B + 2 s 2 + C + 4 s + 10

Isso nos leva ao seguinte sistema:

B + 2 = 0 C + 4 = 0 10 = 10 ⇒   B = - 2 C = - 4 ⇒ R s = 2 s - 2 s + 4 s 2 + 2 s + 5  

⇒ R s = 2 s - 2 s + 2 s 2 + 2 s + 1 + 4 = 2 s - s ( s + 1 + 1 ) s + 1 2 + 2 2

⇒ R s = 2 s - 2 s + 1 s + 1 2 + 2 2 - - 2 s + 1 2 + 2 2

⇒ R s = 2 s - 2 ( s + 1 ) s + 1 2 + 2 2 + 2 s + 1 2 + 2 2

Passo 3

O que falta fazer agora é voltar para o domínio do tempo:

r t = 2 - 2 ⋅ e - t ⋅ cos ⁡ 2 t + e - t ⋅ sin ⁡ 2 t u ( t )

Resposta

H s = Y ( s ) X ( s ) = 10 s 2 + 2 s + 5

r t = 2 - 2 ⋅ e - t ⋅ cos ⁡ 2 t + e - t ⋅ sin ⁡ 2 t u ( t )