Dada a função

f (t) = e^t , - pi < t < pi

f (t + 2 pi) = f ( t )

Mostre que sua série de Fourier é

f (t) = (2 sinh pi)/(pi) [(1)/(2) + sum_(n = 1)^(oo) ((- 1)^n)/(n^2 + 1) cos n t - n sin n t]

Passo 1

Nessa questão dada a função:

f (t) = e^t , - pi < t < pi

f (t + 2 pi) = f ( t )

Mostre que sua série de Fourier é

f (t) = (2 sinh pi)/(pi) [(1)/(2) + sum_(n = 1)^(oo) ((- 1)^n)/(n^2 + 1) cos n t - n sin n t]

Aposto que você tá com essa cara né? Hahaha fica tranquilo e vem.

Passo 2

Sabendo que,

f (t) = e^t , - pi < t < pi

f (t + 2 pi) = f ( t )

Lembrando que para série de Fourier trigonométrica, temos

f (t) = (a_0)/(2) + sum_(n = 1)^(oo) ( a_n cos v w_0 t + b_n sin n w_0 t )

a_0 = (2)/(T) int_0^T f (T) d t

a_n = (2)/(T) int_0^T f (T) cos (n pi x)/(T) d t

b_n = (2)/(T) int_0^T f (T) sin ((n pi x)/(T))

Encontrando a_n e b_n temos

f (t) = (2 sinh pi)/(pi) [(1)/(2) + sum_(n = 1)^(oo) ((- 1)^n)/(n^2 + 1) cos n t - n sin n t]

Espero ter ajudado, até próxima.

Resposta

f (t) = (2 sinh pi)/(pi) [(1)/(2) + sum_(n = 1)^(oo) ((- 1)^n)/(n^2 + 1) cos n t - n sin n t]