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Dado que F s = e - 2 s / ( s + 1 ) , então f t é

  1. e - 2 t - 1 u t - 1
  2. e - t - 2 u t - 2
  3. e - t u t - 2
  4. e - t u t + 1
  5. e - t - 2 u t

Passo 1

Neste problema, a para encontrar a f t dada a transformada F s , devemos inverter o processo: devemos calcular a transformada inversa!

f t = L - 1 F s

Então, no nosso caso, devemos procura quem é a transformada inversa de...

f t = L - 1 e - 2 s s + 1

Passo 2

Poxa, a transformada de Laplace que conhecemos é a transformada de do degrau que gera algo muito parecido com o que temos ali:

L u c t = U s = e - c s s

Onde u c t é a função degrau em c = 2 , no nosso caso!

L u 2 t = U s = e - 2 s s

OK! Mas a fração que estamos lidando está deslocada de 2 unidades! Qual é a propriedade que desloca as transformadas? Isso! Essa daqui:

L e a t g t = G s - a

Perceba então que se a gente chamar a g t de u 2 t e colocar no lugar de a o valor de - 1 ...

L e - t u 2 t = U s + 1

Que nada mais significa que pegar o s de U s e trocar todos os s por s + 1 ...

L e - t u 2 t = U s + 1 =

e - 2 s + 1 s + 1  

Passo 3

Só que isso, ainda não é exatamente o que a gente quer, afinal, buscamos essa Laplace inversa aqui:

f t = L - 1 e - 2 s s + 1

Mas já podemos falar que:

L e - t u 2 t = e - 2 s + 1 s + 1               →

L - 1 e - 2 s + 1 s + 1 = e - t u 2 t

Se lembrarmos de que

e - 2 s + 1 = e - 2 s - 2 = e - 2 s ⋅ e - 2

Então...

L - 1 e - 2 s ⋅ e - 2 s + 1 = e - t u 2 t   →

Como e - 2 é uma constante, ele pode sair de dentro da Laplace inversa:

e - 2 ⋅ L - 1 e - 2 s s + 1 = e - t u 2 t

Isolando...

L - 1 e - 2 s s + 1 = e - t u 2 t e - 2 =

e - t + 2 u 2 t

Como degrau também pode ser representado por u 2 t = u t - 2 , então podemos concluir que...

f t = L - 1 e - 2 s s + 1 =

e - t - 2 u t - 2

Saca? Ou seja, a função em t que gera e - 2 s / ( s + 1 ) é essa função que encontramos aí!

Resposta

B )   e - t - 2 u t - 2

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