É dado que f ( t ) = 0,4 t 2 no intervalo - 5 < t < 5   s .a) Construa uma função periódica que seja igual a f ( t ) entre - 5 e + 5 , tenha um periodo de 20 s   e   s i metria de meia-onda.

b) A função é par ou ímpar?c) A função tem simetria de quarto de onda?d) Calcule a série de Fourier para f ( t ) .e) Calcule a série de Fourier para f ( t ) se f ( t ) for deslocada 5   s para a direita.

Passo 1

Passo 2

[ b ] par

Passo 3

[ c ] sim

Passo 4

[d]  a v = 0 ; b k = 0  for all  k ; a função é par

a k = 0 ,   k par, simetria de meia onda

a k = 8 T ∫ 0 T / 4   0.4 t 2 c o s ⁡ k ω o t d t

= 3 ⋅ 2 T ∫ 0 T / 4   t 2 c o s ⁡ k ω o t d t = 3 ⋅ 2 T 2 t k 2 ω o 2 c o s ⁡ k ω o t + k 2 ω o 2 t 2 - 2 k 3 ω o 3 s i n ⁡ k ω o t 0 T / 4

O primeiro termo é 0 em T/4 e 0; segundo termo é 0 em 0, portanto

a k = 3.2 k 3 ω o 3 T k 2 ω o 2 T 2 - 32 16 s i n ⁡ k π 2

= T 2 5 k 3 8 π 3 k 2 4 π 2 - 32 s i n ⁡ k π 2

T 2 = 400

Passo 5

[e]  c o s ⁡ n ω o ( t - T / 4 ) = c o s ⁡ n ω o t - n π / 2

= s i n ⁡ ( n π / 2 ) s i n ⁡ n ω O t  uma vez que    n   é  impar

∴ f ( t ) = 40 π 3 ∑ n = 1,3 , 5 ∞   n 2 π 2 - 8 n 3 s i n ⁡ n ω o t

Resposta

a.

b. par

c. sim

d.   T 2 = 400

e.   f ( t ) = 40 π 3 ∑ n = 1,3 , 5 ∞   n 2 π 2 - 8 n 3 s i n ⁡ n ω o t