Deduza a Equação 6.3. [ Eis uma maneira: assuma que o dipolo é um quadrado infinitesimal de lado e (se não for. corte-o em quadrados e aplique o argumento a cada um deles). Escolha eixos, como mostra a Figura 6.8, e calcule F = I ∫ ( d l × B ) ao longo de cada um dos quatro lados. Faça a expansão de B em uma série de Taylor do lado direito, por exemplo,

B = B 0 , ϵ , z ≅ B 0,0 , z + ϵ ∂ B ∂ y 0,0 , z

Para um método mais sofisticado, veja o Problema 6.22. ]

Passo 1

F = ∇ m 2 ∙ B = m 2 ∙ ∇ B = m 2 d d z μ 0 4 π 1 z 3 3 m 1 ∙ z ^ z ^ - m 1 = μ 0 2 π   m 1 m 2 z ^ d d z 1 z 3

Ou com z=r:

F = - 3 μ 0 2 π m 1 m 2 r 4 z ^  

Assim temos:

d F = I { d y y ^ × B 0 , y , 0 + d z z ^ × B 0 , ε , z - d y y ^ × B 0 , y , ε - d z z ^ × B ( 0,0 , z ) }

Assim temos que:

I ε 2 z ^ × ∂ B ∂ y - y ^ × ∂ B ∂ z

Passo 2

Agora calculando F, temos que:

F = m x ^ y ^ z ^ 0 0 1 ∂ B x ∂ y ∂ B y ∂ y ∂ B z ∂ y - x ^ y ^ z ^ 0 0 1 ∂ B x ∂ z ∂ B y ∂ z ∂ B z ∂ z

Assim:

F = m x ^ ∂ B x ∂ y + y ^ ∂ B y ∂ y + z ^ ∂ B z ∂ y

Usando ∇ ∙ B = 0 , escrenvendo ∂ B x ∂ y + ∂ B y ∂ y = - ∂ B z ∂ y . Mas m ∙ B = m B x . Assim ∇ m ∙ B = m ∇ B x = m ∂ B x ∂ y x ^ + ∂ B y ∂ y y ^ + ∂ B z ∂ y z ^ . Portanto F = ∇ ( m ∙ B )

Assim finalizamos mais uma! Até a próximo!

Resposta

Dedução nos passos acima!