Deduza as Equações 16.37. Siga a sugestão dada no Problema 16.8 exceto que, em razão da simetria de função impar e da simetria de quarto de onda, f ( t ) = f ( T / 2 - t ) no intervalo T / 4 ≤ t ≤ T / 2 .

Passo 1

E aí galera partiu mais uma questão de circuitos elétricos? Então vem comigo 😊

O exercício pede que a gente Deduza as Equações 16.37. Siga a sugestão dada no Problema 16.8 exceto que, em razão da simetria de função impar e da simetria de quarto de onda, f ( t ) = f ( T / 2 - t ) no intervalo T / 4 ≤ t ≤ T / 2 .

Como a função é ímpar e tem simetria de meia onda, a v = 0 , a k = 0 para todo k e b k = 0 para k par. Para k ímpar temos

b k = 4 T ∫ 0 T / 2   f ( t ) s i n ⁡ k ω 0 t d t

A função também tem simetria de quarto de onda, portanto f(t)=f(T/2-t) no intervalo T/4≤t≤T/2. Assim temos

b k = 4 T ∫ 0 T / 4   f ( t ) s i n ⁡ k ω 0 t d t + 4 T ∫ T / 4 T / 2   f ( t ) s i n ⁡ k ω 0 t d t

Passo 2

Agora deixe t = ( T / 2 - x ) na segunda integral e note que d t = - d x , x = T / 4 quando t = T / 4 e x = 0 quando t = T / 2 , por isso

4 T ∫ T / 4 T / 2   f ( t ) s i n ⁡ k ω 0 t d t = - 4 T c o s ⁡ k π ∫ 0 T / 4   f ( x ) s i n ⁡ k ω 0 x d x

Mas k é ímpar, portanto a expressão se torna

b k = 8 T ∫ 0 T / 4   f ( t ) s i n ⁡ k ω 0 t d t

Resposta

b k = 8 T ∫ 0 T / 4   f ( t ) s i n ⁡ k ω 0 t d t