a) Deduza a expressão para a função de transferência, em função dos fatores de escala, para o filtro projetado no Problema 15.44.

b) Usando a expressão deduzida no item (a), determine o ganho (em decibéis) em 40 Hz e 1.000 Hz.

c) Os valores obtidos no item (b) satisfazem as especificações de filtragem dadas no Problema 15.44?

Passo 1

  1. A função de transferência em escala do filtro passa-altas dada por,
  2. H ' h p ( s )   =   ( s K f ) ³ ( s K f + 1 ) ( ( s K f ) ² + ( s K f ) + 1 )

    o fator de escala de frequência do filtro passa-altas é dado por,

    K f   =   400 π

    então H ' h p ( s )   é dado por,

    H ' h p ( s )   =   ( s 400 π ) ³ ( s 400 π + 1 ) ( ( s 400 π ) ² + ( s 400 π   ) + 1 )

    multiplicando o numerador e o denominador por ( 400 π ) ³ ]

    H ' h p ( s )   =   s ³ ( s + 400 π ) [ s ² + 400 π s + 160000 π ² ]

    A função de transferência escalonada do filtro passa-baixa é dada por,

    H ' l p ( s )   =   1 ( s K f + 1 ) ( ( s K f ) ² + ( s K f ) + 1 )

    o fator de escala de frequência do filtro passa-baixa é dado por,

    K f   =   5000 π

    então, H ' l p dado por,

    H ' l p ( s )   =   1 ( s 5000 π + 1 ) ( ( s 5000 π ) ² + ( s 5000 π ) + 1 )

    multiplicando o numerador e o denominador por ( 5000 π ) ³

    H ' l p ( s )   =   ( 5000 π ) ³ ( s + 5000 π ) [ s ² + 5000 π s + 25 ∙ 10 ⁶ π ² ]

    portanto, a função de transferência em escala de filtro H'(s) é dada por,

    H ' ( s )   =   K H ' h p ( s ) H ' l p ( s )

    = 100 H h p ( s ) H ' l p ( s )

    H’(s) = 125 ∙ 10 ¹ ¹ π ³ s ³ D 1 D 2 D 3 D 4

    onde,

    D 1   =   s   +   400 π

    D 2   =   s   +   5000 π

    D 3   =   s ²   +   400 π s   +   160000 π ²

    D 4   =   s ²   +   5000 π s   +   25 ∙ 10 ⁶ π ²

    Passo 2

  3. a 40 Hz, a frequência angular w é dada por,
  4. w   =   80 π   r a d / s

    determinando o valor de H ' ( j 80 π )

    H ' ( j 80 π )   =   125 ∙ 10 ¹ ¹ π ³ ( j 80 π ) ³ ( j 80 + 400 π ) ( j 80 π + 5000 π ) ∙ 1 ( ( j 80 π ) ² + 400 π ( j j 80 π ) + 160000 π ² ) ( ( j 80 π ) ² + 5000 π ( j 80 π ) + 25 ∙ 10 ⁶ π ² )

    =   0.8 ∠ - 114.9 ⁰

    então, o ganho G é dado em decibéis por,

    G   =   20 l o g 20 | H ' ( j 80 π ) |

    = 20 l o g 10 ( 0.8 )

    = - 1.94   d B

    a 100 Hz, a frequência angular w é dada por,

    w   =   2000 π   r a d / s

    determinando o valor de H ' ( j 80 π )

    H ' ( j 2000 π )   =   125 ∙ 10 ¹ ¹ π ³ ( j 2000 π ) ³ ( j 2000 + 400 π ) ( j 2000 π + 5000 π ) ∙

    1 ( ( j 2000 π ) ² + 400 π ( j 2000 π ) + 160000 π ² ) ( ( j 2000 π ) ² + 5000 π ( j 2000 π ) + 25 ∙ 10 ⁶ π ² )

    =   99.8 ∠ - 24.2 ⁰

    então, o ganho G é dado em decibéis por,

    G   =   20 l o g 20 | H ' ( j 2000 π ) |

    = 20 l o g 10 ( 99.8 )

    = 39.98   d B

    Passo 3

  5. A 40 Hz, o ganho cai 39,98 + 1,94 ou 41,9 dB, o que atende à especificação.

Os 1000 Hz estão na região da banda passante, portanto, espera-se que o ganho seja quase igual a 40 dB, conforme indicado nas especificações, que atendem ao resultado da parte b.

Resposta

  1. H’(s) = 125 ∙ 10 ¹ ¹ π ³ s ³ D 1 D 2 D 3 D 4
  2. = - 1.94   d B 40Hz
  3. = 39.98   d B 1000 Hz

  4. Os resultados da parte b atendem às especificações de filtragem.