Deduza a propriedade de mudança de escala,

L f c t = 1 c F   s c   ,     c > 0

E use o resultado para obter a transformada de cos ⁡ k t a partir de L [ cos ⁡ t ] = s s 2 + 1

Passo 1

Vamos lá pra uma questãozinha teórica de dedução de fórmulas. A ideia aqui é a seguinte: usar f ( c t ) na definição da transformada e usar manipulações algébricas no seu desenvolvimento. Comecemos então com

L f c t = ∫ 0 - ∞ f c t ⋅ e - s t   d t

Vamos fazer a seguinte mudança de variáveis: x = c ⋅ t . Diferenciando esta equação, obtemos d x = c ⋅ d t . Além disso, se x = c ⋅ t , então t = x c e se d x = c ⋅ t , então d t = d x c .

Agora, aplicamos esta mudança de variáveis na definição da integral:

L f c t =   ∫ 0 - ∞ f x ⋅ e - s ⋅ x c d x c = 1 c ∫ 0 - ∞ f x ⋅ e - s c x d x

Passo 2

Vamos escrever a definição da transformada de Laplace e vamos comparar com a equação obtida no passo anterior:

L f t =   ∫ 0 - ∞ f t ⋅ e - s t   d t = F ( s )

Podemos perceber algumas semelhanças:

Os intervalos da integral; a função que multiplica o núcleo da transformada (núcleo é a exponencial dentro da integral) e a diferencial.

O que há de diferente?

A constante multiplicando a integral e a fração na exponencial.

Assim, podemos escrever a transformada da seguinte maneira:

L f c t = 1 c ∫ 0 - ∞ f x ⋅ e - s c x d x = 1 c ⋅ F s a

Como queríamos demonstrar.

Passo 3

Vamos usar o resultado obtido no passo 2 para calcular a L [ cos ⁡ k t ] a partir de L [ cos ⁡ t ] = s s 2 + 1 .

L [ cos ⁡ k t ] = 1 c ⋅ s c s c 2 + 1 = 1 c ⋅ s c s 2 c 2 + c 2 c 2 = 1 c ⋅ s c s 2 + c 2 c 2 = 1 c ⋅ s c ⋅ c 2 s 2 + c 2 = s ⋅ c 2 c 2 ⋅ s 2 + c 2

O termo “ c 2 ” pode ser cancelado. O que sobra é então:

L [ cos ⁡ k t ] = s s 2 + c 2

Resposta

L [ cos ⁡ k t ] = s s 2 + c 2