Deduza a propriedade de mudança de escala,
E use o resultado para obter a transformada de a partir de
Passo 1
Vamos lá pra uma questãozinha teórica de dedução de fórmulas. A ideia aqui é a seguinte: usar na definição da transformada e usar manipulações algébricas no seu desenvolvimento. Comecemos então com
Vamos fazer a seguinte mudança de variáveis: . Diferenciando esta equação, obtemos . Além disso, se , então e se , então
Agora, aplicamos esta mudança de variáveis na definição da integral:
Passo 2
Vamos escrever a definição da transformada de Laplace e vamos comparar com a equação obtida no passo anterior:
Podemos perceber algumas semelhanças:
Os intervalos da integral; a função que multiplica o núcleo da transformada (núcleo é a exponencial dentro da integral) e a diferencial.
O que há de diferente?
A constante multiplicando a integral e a fração na exponencial.
Assim, podemos escrever a transformada da seguinte maneira:
Como queríamos demonstrar.
Passo 3
Vamos usar o resultado obtido no passo 2 para calcular a a partir de
O termo “” pode ser cancelado. O que sobra é então: