a) Deduza a série de Fourier para a tensão periódica da Figura P16.13.b) Repita (a) com o eixo vertical de referência deslocado T / 2 unidades para a esquerda.

Passo 1

E aí galera partiu mais uma questão de circuitos elétricos? Então vem comigo 😊

O exercício pede que a gente Deduza a série de Fourier para a tensão periódica da Figura P16.13.

[a] i(t) é par, portanto, k=0 para todo k

a v   = 1 2 ⋅ T 4 ⋅ I m ⋅ 2 ⋅ 1 T = I m 4   A a k   = 4 T ∫ 0 T / 4   I m - 4 I m T t c o s ⁡ k ω o t d t = 4 I m T ∫ 0 T / 4   c o s ⁡ k ω o t d t - 16 I m T 2 ∫ 0 T / 4   t c o s ⁡ k ω o t d t = Int   1 - Int   2

I n t 1   = 4 I m T ∫ 0 T / 4   c o s ⁡ k ω o t d t = 2 I m π k s i n ⁡ k π 2 I n t 2   = 16 I m T 2 ∫ 0 T / 4   t c o s ⁡ k ω o t d t

= 16 I m T 2 1 k 2 ω o 2 c o s ⁡ k ω o t + t k ω o s i n ⁡ k ω o t 0 T / 4 = 4 I m π 2 k 2 c o s ⁡ k π 2 - 1 + 2 I m k π s i n ⁡ k π 2

∴ a k = 4 I m π 2 k 2 1 - c o s ⁡ k π 2 A

∴ i ( t ) = I m 4 + 4 I m π 2 ∑ n = 1 ∞   1 - c o s ⁡ ( n π / 2 ) n 2 c o s ⁡ n ω o t A

Passo 2

[b] Deslocar o eixo de referência para a esquerda é equivalente a deslocar a função periódica para a direita:

c o s ⁡ n ω o ( t - T / 2 ) = c o s ⁡ n π c o s ⁡ n ω o t

por isso

i ( t ) = I m 4 + 4 I m π 2 ∑ n = 1 ∞   ( 1 - c o s ⁡ ( n π / 2 ) ) c o s ⁡ n π n 2 c o s ⁡ n ω o t A

Resposta

a . i ( t ) = I m 4 + 4 I m π 2 ∑ n = 1 ∞   1 - c o s ⁡ ( n π / 2 ) n 2 c o s ⁡ n ω o t A

b. i ( t ) = I m 4 + 4 I m π 2 ∑ n = 1 ∞   ( 1 - c o s ⁡ ( n π / 2 ) ) c o s ⁡ n π n 2 c o s ⁡ n ω o t A