Deduza as equações 16.69 e 16.7 0

Passo 1

A função tem simetria de meia onda, portanto a_k = b_k = 0 para k -par, a_v = 0 ; para k - impar

a_k = (4)/(T) int_0^(T // 2) V_m c o s k omega_0 t d t - (8 V_m)/(rho T) int_0^(T // 2) e^(- t // R C) c o s k omega_0 t d t

Em que rho = [1 + e^(- T // 2 R C)]

Ao integrar temos

a_k = ((4 V_m)/(T) (s i n k omega_0 t)/(k omega_0)|_0^(T // 2)

- (8 V_m)/(rho T) * {((e^(- t // R C))/(( 1 // R C )^2 + (k omega_0)^2) * [(- c o s k omega_0 t)/(R C) + k omega_0 s i n k omega_0 t]|_0^(T // 2)}

= (- 8 V_m R C)/(T [1 + (k omega_0 R C)^2])

b_k = (4)/(T) int_0^(T // 2) V_m s i n k omega_0 t d t - (8 V_m)/(rho T) int_0^(T // 2) e^(- t // R C) s i n k omega_0 t d t

= - ((4 V_m)/(T) (c o s k omega_0 t)/(k omega_0)|_0^(T // 2)

- (8 V_m)/(rho T) * {((- e^(- t // R C))/(( 1 // R C )^2 + (k omega_0)^2) * [(s i n k omega_0 t)/(R C) + k omega_0 c o s k omega_0 t]|_0^(T // 2)}

= (4 V_m)/(pi k) - (8 k omega_0 V_m R^2 C^2)/(T [1 + (k omega_0 R C)^2])

Resposta

(4 V_m)/(pi k) - (8 k omega_0 V_m R^2 C^2)/(T [1 + (k omega_0 R C)^2])