Enunciado

Definimos a potência média para uma potência instantânea p ( t ) , que não é necessariamente periódica, por

P =   lim τ → ∞ ⁡ 1 τ ∫ 0 τ p t   d t

Mostre que v e i de (12.7) – (12.8) que esta definição mantém o mesmo resultado de (12.6).

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Tá, vamos lá, a definição da potência é dada por

P t = v t ∙ i t = V m I m cos ⁡ ω t + θ cos ⁡ ω t + ϕ - θ

Podemos usar a seguinte propriedade trigonométrica

cos ⁡ ω t + θ cos ⁡ ω t + ϕ - θ = 1 2 cos ⁡ 2 ω t + 2 ϕ - θ + cos ⁡ θ

Com isso, nós temos que

P t =   V m I m 1 2 cos ⁡ 2 ω t + 2 ϕ - θ + cos ⁡ θ

Agora vamos para a integral para resolver o problema

Passo 2

A integral é dada por

P =   lim T → ∞ ⁡ 1 T ∫ 0 T p t   d t

Substituindo o p ( t ) , nós obtemos o seguinte resultado

P = 1 T ∫ 0 T V m I m 2 cos ⁡ 2 ω t + 2 ϕ - θ + cos ⁡ θ   d t

Resolvendo a integral, nós temos que

P = V m I m 2 T cos ⁡ θ   t 0 T + s e n 2 ω t + 2 ϕ - θ 2 ω 0 T

Desenvolvendo um pouco mais os termos

P = V m I m 2 T T c o s   θ + s e n 2 ω T + 2 ϕ - θ - s e n 2 ϕ - θ 2 ω

Um pouco mais rsrs

V m I m 2 cos ⁡ θ + V m I m 4 ω T s e n   2 ω T + 2 ϕ - θ - s e n 2 ϕ - θ

Parece complicado não é, mas vamos utilizar o limite agora, e você verá o quanto fica simples.

Passo 3

Aplicando o limite nós temos que

P =   lim T → ∞ ⁡ V m I m 2 cos ⁡ θ + lim T → ∞ ⁡ V m I m 4 ω T s e n   2 ω T + 2 ϕ - θ - s e n 2 ϕ - θ

O termo V m I m 4 ω T tende para zero, logo o limite mais a direita também é zero, com isso, nos resta apenas

P =   lim T → ∞ ⁡ V m I m 2 cos ⁡ θ

Que será igual a

P =   V m I m 2 cos ⁡ θ

Portanto, provando o que nos foi pedido!

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o   a c i m a

Exercícios de Livros Relacionados

35- Um ciclo de uma forma de onda periódica é representado na Figura 11.66 . Determine o valor eficaz da tensão. Note que o ciclo se inicia em t = 0 e termina em t = 6s
34- Determine o valor eficaz de f ( t ) definida na Figura 11.65