Enunciado

A densidade de fluxo elétrico sobre uma superfície esférica r = b é a mesma tanto para uma carga pontual Q localizada na origem, quanto para uma carga Q uniformemente distribuída sobre uma superfície r = a   a < b .

  1. Sim
  2. Não
  3. Não necessariamente

Passo 1

E ai belezinha, pessoal??

Só vamoo

Suponhamos uma superfície gaussiana na forma de uma esfera, com um raio r.

Use a lei de gauss para determinar a densidade de fluxo necessária em ambos os casos.

∮ S D ⋅ d S = Q e n c

A carga pontual é Q .

Passo 2

Quando a carga envolvida pela esfera é uma carga pontual, então Q e n c l = Q .

O campo é simétrico e a densidade do fluxo varia apenas com o raio r .

∮ S D ⋅ d S = Q e n c

D ∫ S d s = Q   ( d e s d e   Q = Q e n c )  

D ∫ 0 2 π ∫ 0 π r 2 s e n θ d ϕ d θ = Q

D r 2 [ - c o s θ ] 0 π [ ϕ ] 0 2 π = Q

Passo 3

Simplificando

D r 2 1 + 1 2 π - 0 = Q

4 π r 2 D = Q

D = Q 4 π r 2 C m 2

Passo 4

Iremos determinar a densidade do fluxo na superfície da esfera com raio b

Substituindo   b   p o r   r em

D = Q 4 π r 2 C m 2

Logo, a densidade de fluxo na superfície da esfera é

D = Q 4 π b 2 C m 2

Passo 5

Considerando outra esfera de raio a

Uma carga de Q é uniformemente distribuída na esfera.

Determine a distribuição de carga na superfície da esfera

A carga distribuída na superfície da esfera é a densidade de carga superficial

ρ s = Q 4 π a 2

Passo 6

Usando a lei de gauss para determinar a densidade de fluxo necessária em ambos os casos

∮ S D ⋅ d s = Q e n c

A carga é uniformemente distribuída em uma esfera de raio a

Determine a carga efetiva envolvida pela esfera do raio b

Q e n c = ∮ S ρ s d s

Q e n c = ∮ ϕ ∮ θ Q 4 π a 2 r 2 s e n θ d θ d ϕ

Substituindo a por r , já que a esfera é de raio a

Q e n c = ∮ 0 π ∮ 0 2 π Q 4 π a 2 a 2 s e n θ d θ d ϕ

Q e n c = Q 4 π ∮ 0 π ∮ 0 2 π s e n θ d θ d ϕ

Q e n c = Q 4 π [ - c o s θ ] 0 π × [ ϕ ] 0 2 π

Q e n c = Q 4 π × 4 π

Portanto, o Q e n c   é   t a m b é m   Q .

Passo 7

A carga envolvida pela esfera do raio b é Q e n c = Q .

O campo é simétrico e a densidade do fluxo varia apenas com o raio r .

∮ S D ⋅ d s = Q e n c

D ∫ S d s = Q   ( d e s d e   Q = Q e n c )  

D ∫ 0 2 π ∫ 0 π b 2 s e n θ d ϕ d θ = Q

D b 2 [ - c o s θ ] 0 π [ ϕ ] 0 2 π = Q

Passo 8

Mais simplificações resultam em:

D b 2 [ - c o s θ ] 0 π [ ϕ ] 0 2 π = Q

4 π b 2 D = Q

D = Q 4 π b 2 C m 2

Sim, a densidade do fluxo elétrico é a mesma para uma carga pontual Q e para uma carga Q uniformemente distribuída na superfície r = a .

Resposta

Portanto, a opção correta é (a).

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