Qual é a derivada das expressões senoidais a seguir?

a) 10 s e n 377 t ;

b) 0.6 s e n 754 t + 20 ° ;

c) 2 × 20 s e n 157 t - 20 ° ;

d) - 200 s e n t + 180 ° .

Passo 1

Fala aee!! Vamos lembrar como se faz uma derivada lá do cálculo 1?

Olha, sendo uma função qualquer y = s e n ( u ) , em que u é derivável, temos que a derivada y ' é dada por:

y ' = u ' c o s ⁡ ( u )

Belezinha? É só derivar o que tá dentro dos parênteses e colocar do lado para fora, além de trocar o seno pelo cosseno ;)

Passo 2

Dessa forma, na letra a), temos:

d d t 10 s e n 377 t = 10 × 377 × cos ⁡ 377 t = 3770 c o s ⁡ ( 377 t )

Seguindo o mesmo princípio para as demais letras, teremos que:

b)

d d t 0.6 s e n 754 t + 20 ° = 0.6 × 754 × cos ⁡ 754 t + 20 ° = 452.4 c o s ⁡ ( 754 t + 20 ° )

c)

d d t 2 × 20 s e n 157 t - 20 ° = 2 × 20 × 157 × cos ⁡ 157 t - 20 ° = 4440.63 c o s ⁡ ( 157 t - 20 ° )

d)

d d t - 200 s e n t + 180 ° = - 20 0 × 1 × cos ⁡ t + 180 ° = - 200 c o s ⁡ ( t + 180 ° )

Obs: Pela circunferência trigonométrica, sendo θ um ângulo qualquer, temos que:

cos ⁡ θ = - cos ⁡ θ + 180 °

Em outras palavras, para esse exemplo:

- 200 cos ⁡ t + 180 ° = 200 c o s ⁡ ( t )

Resposta

a) 3770 c o s ⁡ ( 377 t )

b) 452.4 c o s ⁡ ( 754 t + 20 ° )

c) 4440.63 c o s ⁡ ( 157 t - 20 ° )

d) 200 c o s ⁡ ( t )