Derive P 3 ( x ) da fórmula de Rodrigues e verifique se P 3 ( c o s θ ) satisfaz a equação angular (3.60) para l = 3 . Verifique se P 3 e P 1 são ortogonais por integração explícita.

Passo 1

a) E aaaí, pessoal! Bora resolver essa questãozinha. Antes de derivar o Polinômio de terceira ordem da fórmula de Rodrigues, vamos lembrar da sua fórmula geral:

P l = 1 2 l l !   d d x l x 2 - 1 l

O polinômio de terceira ordem será:

P 3 x = 1 2 3   .   3 ! d d x 3   x 2 - 1 3

P 3 x = 1 8   .   6 d 3 d x 3   x 2 - 1 3

Derivando, teremos:

P 3 x = 1 8   .   6 d 3 d x 3   x 2 - 1 3 = 1 48 d 2 d x 2   3 x 2 - 1 2 2 x = 1 8 d 2 d x 2 x x 2 - 1 2

= 1 8 d d x x 2 - 1 2 + 2 x x 2 - 1 2 x = 1 8 d d x x 2 - 1 x 2 - 1 + 4 x 2

= 1 8 d d x x 2 - 1 5 x 2 - 1 = 1 8   [ 2 x 5 x 2 - 1 + x 2 - 1 10 x ]

= 1 4 5 x 3 - x + 5 x 3 - 5 x = 1 4 ( 10 x 3 - 6 x )

= 5 2 x 3 - 3 2 x

P 3 x =   5 2 x 3 - 3 2 x

Passo 2

b) Para que P 3 e P 1 sejam ortogonais, P 3 cos ⁡ θ , precisa satisfazer a seguinte condição:

1 s e n θ d d θ s e n θ d P d θ =   - l l + 1 P  

Para o nosso caso teremos l = 3 , já que estamos utilizando um polinômio de terceira ordem.

Escrevendo P 3 em termos de cos ⁡ θ :

P 3 cos ⁡ θ = 1 2 c o s ⁡ ( θ ) ( 5 cos 2 ⁡ θ - 3 ) .

Derivando P 3 , agora:

d P 3 d θ = 1 2 [ - s e n θ ( 5 cos 2 ⁡ θ - 3 ) + c o s θ 10 c o s θ - s e n θ  

= 1 2   s e n θ ( 5 cos 2 ⁡ θ - 3 + 10 cos 2 ⁡ θ )

= - 3 2   s e n   θ ( 5 cos 2 ⁡ θ - 1 )

Resolvendo agora ∂ ∂ θ s e n θ d P 3 d θ :

∂ ∂ θ s e n θ d P 3 d θ =   - 3 2 d d θ s e n 2 θ 5 cos 2 ⁡ θ - 1

=   - 3 2 [ s e n θ c o s θ 5 cos 2 ⁡ θ - 1 + s e n 2 θ - 10 c o s θ s e n θ ]

= - 3 s e n θ c o s θ [ 5 cos 2 ⁡ θ - 1 - 5 s e n 2 θ ]

Resolvendo agora 1 s e n θ ∂ ∂ θ s e n θ d P 3 d θ   :

1 s e n θ ∂ ∂ θ s e n θ d P 3 d θ =   - 3 c o s θ 5 cos 2 ⁡ θ - 1 - 5 1 - cos 2 ⁡ θ

=   - 3 c o s θ ( 10 cos 2 ⁡ t h e t a - 6 )

= - 3   .   4 1 2 c o s θ ( 5 cos 2 ⁡ θ - 3 ) =   - l l + 1 P 3

E a equação foi satisfeita!

Passo 3

Outra maneira de checar seria mostrar que a condição abaixo é satisfeita:

∫ - 1 1 P 1 x P 3 x d x   = 0  

Testando para os polinômios pedidos:

∫ - 1 1 P 1 x P 3 x d x   = ∫ - 1 1   x 1 2   5 x 3 - 3 x d x = 1 2   x 5 - x 3 ​ - 1 1 = 1 2 1 - 1 + 1 - 1 = 0    

A relação foi satisfeita, portanto os polinômios são ortogonais.

E aqui chegamos ao fim da questão, galera. Até a próxima :😉

Resposta

P 3 x =   5 2 x 3 - 3 2 x

∫ - 1 1 P 1 x P 3 x d x   = 0 → s ã o   o r t o g o n a i s