Derive da fórmula de Rodrigues e verifique se satisfaz a equação angular (3.60) para . Verifique se e são ortogonais por integração explícita.
Passo 1
a) E aaaí, pessoal! Bora resolver essa questãozinha. Antes de derivar o Polinômio de terceira ordem da fórmula de Rodrigues, vamos lembrar da sua fórmula geral:
O polinômio de terceira ordem será:
Derivando, teremos:
Passo 2
b) Para que e sejam ortogonais, , precisa satisfazer a seguinte condição:
Para o nosso caso teremos , já que estamos utilizando um polinômio de terceira ordem.
Escrevendo em termos de :
Derivando , agora:
Resolvendo agora :
Resolvendo agora :
E a equação foi satisfeita!
Passo 3
Outra maneira de checar seria mostrar que a condição abaixo é satisfeita:
Testando para os polinômios pedidos:
A relação foi satisfeita, portanto os polinômios são ortogonais.
E aqui chegamos ao fim da questão, galera. Até a próxima :😉