Uma destas expressões é um campo eletrostático impossível. Qual delas?

(a)   E = k x y   x ^ + 2 y z   y ^ + 3 x z   z ^   ;

(b) E = k y 2   x ^ + ( 2 y z + z 2 )   y ^ + 2 y z   z ^   .

Aqui, k é uma constante com as unidades adequadas. Para o campo possível, encontre o potencial usando a origem como seu ponto de referência. Verifique suas respostas calculando ∇ V . [Dica: você deve escolher um caminho específico para a integração. Não importa qual é esse caminho, já que a resposta é independente do caminho escolhido, mas simplesmente não se pode integrar sem ter um caminho particular em mente.]

Passo 1

Falaaa, tudo belezaa?? Para descobrirmos qual dos campos elétricos podem ser eletroestáticos devemos calcular o rotacional deles. Caso seja diferente de zero, então, não pode ser um campo eletroestático.

Para a segunda parte da questão, sabemos que o potencial elétrico é dado por:

V = - ∫ a r E . d l

Vamos precisar fazer algumas interpretações para montar a integral, mas nada demais. Bora lá!!!

Passo 2

Colocando o rotacional dos campos elétricos.

∇ × E 1 = k x ^ y ^ z ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z x y 2 y z 3 z x

= k x ^ 0 - 2 y + y ^ 0 - 3 z + z ^ ( 0 - x )

∇ × E 1 ≠ 0

Então, o campo elétrico 1 não pode ser um campo eletroestático!!

Calculando do segundo campo elétrico.

∇ × E 2 = k x ^ y ^ z ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z y 2 2 y z + z 2 2 y z

= k x ^ 2 z - 2 z + y ^ 0 - 0 + z ^ ( 2 y - 2 y )

∇ × E 2 = 0

Então, o campo elétrico 2 é um possível campo eletrostático.

Passo 3

Agora vamos calcular o potencial elétrico para um caminho aleatório.

Perceba que no caminho 1, z = 0 e y = 0 até o final, não variam, d y = d z = 0 . Então:

E . d l = k y 2 d x

Como y = 0

E . d l = 0

Para o caminho 2, x = x 0 e agora o y varia até y 0 . Porém, z = 0 . E d x = d z = 0 .

E . d l = k 2 x y + z 2 d y

E . d l = k x 0 y   d y

Integrando para achar o potencial.

∫ 0 y 0 k x 0 y   d y = k x 0 y 0 2

Agora só precisamos encontra o do caminho 3, quem varia é z .Onde, x = x 0 e y = y 0 .

E . d l = 2 k y z   d z

E . d l = 2 k y 0 z   d z

Integrando.

∫ 0 z 0 2 k y 0 z   d z = k y 0 z 0 2

Sendo assim, o potencial elétrico é dado como:

V x 0 ,   y 0 ,   z 0 = - k ( x 0 y 0 2 + y 0 z 0 2 )

Ou também pode ser escrito como:

V x ,   y ,   z = - k ( x y 2 + y z 2 )

Resposta

V x ,   y ,   z = - k ( x y 2 + y z 2 )