Enunciado

Determine f ( t ) , se:

a) F s = 2 s 3 + 4 s 2 + 1 ( s 2 + 2 s + 17 ) ( s 2 + 4 s + 20 )

b) F s = s 2 + 4 ( s 2 + 9 ) ( s 2 + 6 s + 3 )

Passo 1

a) Para encontrarmos a transformada inversa de Laplace, primeiro vamos separar o que temos em frações parciais, pois temos termos sendo multiplicados no denominador, assim:

2 s 3 + 4 s 2 + 1 ( s 2 + 2 s + 17 ) ( s 2 + 4 s + 20 ) = A s + B ( s 2 + 2 s + 17 ) + C s + D ( s 2 + 4 s + 20 )

Lembrando que quando o denominador tem grau 2, o numerador deve ter grau 1 ;)

Para encontrarmos A ,   B ,   C e D , primeiro vamos somar as duas frações fazendo o MMC dos denominadores:

2 s 3 + 4 s 2 + 1 ( s 2 + 2 s + 17 ) ( s 2 + 4 s + 20 ) = A s + B s 2 + 4 s + 20 + ( C s + D ) ( s 2 + 2 s + 17 ) ( s 2 + 2 s + 17 ) ( s 2 + 4 s + 20 )

Opa, dos dois lados temos o mesmo denominador, então vamos cortar:

2 s 3 + 4 s 2 + 1 = A s + B s 2 + 4 s + 20 + ( C s + D ) ( s 2 + 2 s + 17 )

2 s 3 + 4 s 2 + 1 = A s 3 + 4 A s 2 + 20 A s + B s 2 + 4 B s + 20 B + C s 3 + 2 C s 2 + 17 C s + D s 2 + 2 D s + 17 D

Agrupando os termos:

2 s 3 + 4 s 2 + 1 = A + C s 3 + 4 A + B + 2 C + D s 2 + 20 A + 4 B + 17 C + 2 D s + 20 B + 17 D

Passo 2

Agora é o seguinte: como temos uma igualdade, vamos igualar tudo que ta multiplicando s ³ no lado esquerdo com o lado direito e depois fazer o mesmo para s ² , s e os termos independentes. Isso vai nos dar o sistema:

A + C = 2 4 A + B + 2 C + D = 4 20 A + 4 B + 17 C + 2 D = 0 20 B + 17 D = 1

Resolvendo esse sistema, temos

A = - 1.6

B = - 17.8

C = 3.6

D = 21

Então:

2 s 3 + 4 s 2 + 1 ( s 2 + 2 s + 17 ) ( s 2 + 4 s + 20 ) = - 1.6 s - 17.8 ( s 2 + 2 s + 17 ) + 3.6 s + 21 ( s 2 + 4 s + 20 )

Passo 3

Vamos mexer na expressão para encontrarmos algo parecido com o modelo s - a s - a 2 + b ² da tabela:

F s = - 1.6 s - 1.6 - 16.2 s 2 + 2 s + 1 + 16 + 3.6 s + 7.2 + 13.8 s 2 + 4 s + 4 + 20

Obs:

- 1.6 - 16.2 = - 17 . 8

7.2 + 13.8 = 2 1

Continuando:

F s = - 1.6 s + 1 - 16.2 s + 1 2 + 4 ² + 3.6 ( s + 2 ) + 13.8 s + 2 2 + 4 ²

Separando em mais duas frações:

F s = - 1.6 s + 1 s + 1 2 + 4 ² + - 16.2 s + 1 2 + 4 ² + 3.6 ( s + 2 ) s + 2 2 + 4 ² + 13.8 s + 2 2 + 4 ²

Vamos dividir o numerador dessas frações novas por 4, para chegarmos ao modelo a s - a + a ²

F s = - 1.6 s + 1 s + 1 2 + 4 ² + - 4.05 . 4 s + 1 2 + 4 ² + 3.6 ( s + 2 ) s + 2 2 + 4 ² + 3,45.4 s + 2 2 + 4 ²

Agora simm, podemos usar a tabela e encontrar nossa transformada inversa:

f t = - 1.6 e - t . cos ⁡ 4 t - 4.05 e - t . s e n   4 t + 3.6 e - 2 t . cos ⁡ 4 t + 3.45 e - 2 t . s e n   4 t

Passo 4

b) Usando frações parciais:

s 2 + 4 ( s 2 + 9 ) ( s 2 + 6 s + 3 ) = A s + B s 2 + 9 + C s + D s 2 + 6 s + 3

Vamos somar as duas frações:

s 2 + 4 ( s 2 + 9 ) ( s 2 + 6 s + 3 ) = A s + B s 2 + 6 s + 3 + ( C s + D ) ( s 2 + 9 ) ( s 2 + 9 ) ( s 2 + 6 s + 3 )

s 2 + 4 = A s + B s 2 + 6 s + 3 + ( C s + D ) ( s 2 + 9 )

s 2 + 4 = A + C s 3 + 6 A + B + D s 2 + 3 A + 6 B + 9 C s + 3 B + 9 D

Passo 5

Vamos agora igualar os termos do lado esquerdo e direito, obtendo o sistema:

A + C = 0 6 A + B + D = 1 3 A + 6 B + 9 C = 0 3 B + 9 D = 4

Resolvendo esse sistema, vamos ter

A = 1 12

B = 1 12

C = - 1 12

D = 5 12

Então:

F ( s ) = 1 12 s + 1 12 s 2 + 9 + - 1 12 s + 5 12 s 2 + 6 s + 3

Passo 6

Escrevendo - 1 12 s + 5 12 s 2 + 6 s + 3 em frações parciais

Vamos encontrar as raízes de s 2 + 6 s + 3 :

s = - 6 ± 36 - 12 2

s 1 = - 0.551               s 2 = - 5.449

Então, podemos escrever - 1 12 s + 5 12 s 2 + 6 s + 3 assim:

- 1 12 s + 5 12 ( s + 0.551 ) ( s + 5.449 )

Agora, vamos fazer frações parciais nessa expressão também ok?

- 1 12 s + 5 12 ( s + 0.551 ) ( s + 5.449 ) = E s + 0.551 + F s + 5.449

- 1 12 s + 5 12 ( s + 0.551 ) ( s + 5.449 ) = E s + 5.449 + F ( s + 0.551 ) ( s + 0.551 ) ( s + 5.449 )

- 1 12 s + 5 12 = E s + 5.449 + F ( s + 0.551 )

Para s 1 = - 0.551 , temos:

- 1 12 ( - 0.551 ) + 5 12 = E - 0.551 + 5.449

E = 0.0944

E para s 2 = - 5.449 :

- 1 12 ( - 5.449 ) + 5 12 = F ( - 5.449 + 0.551 )

F = 0.177

Então:

- 1 12 s + 5 12 ( s + 0.551 ) ( s + 5.449 ) = - 1 12 s + 5 12 s 2 + 6 s + 3 = 0.0944 s + 0.551 + 0.177 s + 5.449

Não precisa se assustar não viu? Só fizemos esse passo 6 pra encontrarmos uma maneira de escrever - 1 12 s + 5 12 s 2 + 6 s + 3 em algum modelo da tabela de transformadas inversas hahaha :D

Passo 7

Substituindo o que encontramos no passo anterior lá na nossa expressão do passo 5:

F ( s ) = 1 12 s + 1 12 s 2 + 9 + 0.0944 s + 0.551 + 0.177 s + 5.449

Vamos separar a primeira fração em duas e multiplicar a segunda por 3 em cima e embaixo para chegarmos ao modelo a s 2 + a ² da tabela

F s = 1 12 s s 2 + 3 ² + 1 36 3 s 2 + 3 ² + 0.0944 1 s + 0.551 + 0.177 1 s + 5.449

Agora simmm, as 4 frações estão em algum modelo de transformada que conhecemos a inversa, logo:

f t = 1 12 cos ⁡ ( 3 t ) + 1 36 s e n   3 t + 0.0944 e - 0.551 t + 0.177 e - 5.449 t

Resposta

a) f t = - 1.6 e - t . cos ⁡ 4 t - 4.05 e - t . s e n   4 t + 3.6 e - 2 t . cos ⁡ 4 t + 3.45 e - 2 t . s e n   4 t

b) f t = 1 12 cos ⁡ ( 3 t ) + 1 36 s e n   3 t + 0.0944 e - 0.551 t + 0.177 e - 5.449 t

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