Enunciado

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Determine y t = x t * h ( t ) para cada par na figura:

a)

b)

c)

Passo 1

a) Vamos “deslizar” o gráfico de x ( t ) sobre o gráfico de h ( t ) e calcular a integral de convolução para cada intervalo em que os gráficos são sobrepostos ok?

Para t < 0 , não há sobreposição dos gráficos, portanto, y t = 0

Para 0 < t < 1 , há sobreposição dos gráficos entre 0 e t ' , sendo que nesse intervalo, x t = 1 e h t = t (pois nesse intervalo temos uma reta crescente do tipo y = x ).

Então:

y t = ∫ 0 t ' 1 . t   d t

y t = t 2 2

Passo 2

Para o intervalo 1 < t < 2 , a sobreposição dos gráficos é dada de modo que as integrais de convolução são:

y t = ∫ t ' - 1 1 1 . t   d t + ∫ 1 t 1 . 1   d t

Observe que entre t ' - 1 e 1 , a sobreposição é com x t = 1 e h t = t , enquanto de 1 até t , temos ambas as funções iguais a 1 . Então, resolvendo as integrais:

y t = - t 2 2 + 2 t - 1

Já para t > 2 , os gráficos se sobrepõem de t ' - 1 até t ' , quando as duas funções valem 1:

y t = ∫ t ' - 1 t 1.1   d t

y t = 1

Portanto:

y t = t 2 2 ,   0 < t < 1 - t 2 2 + 2 t - 1 ,   1 < t < 2 1 ,   t > 2 0 ,   c a s o   c o n t r á r i o

Passo 3

b) Para o intervalo t < 0 , não há sobreposição dos gráficos, então, y t = 0 nesse intervalo.

Para t > 0 , os gráficos se sobrepõem de 0 até t ' , com x t = 1 e h t = 2 e - t :

y t = ∫ 0 t ' 1 . 2 e - t   d t

y t = 2 - 2 e - t ,   t > 0

Passo 4

c) Mais uma vez vamos deslizar o gráfico de x ( t ) sobre o gráfico de h ( t ) e calcular a integral de convolução para vários intervalos ok?

Para t < 0 , não há sobreposição dos gráficos, então, y t = 0 .

Para - 1 < t < 0 :

y t = ∫ 0 t ' + 1 1 . t   d t

y t = t + 1 2 2

Para 0 < t < 1 :

y t = ∫ 0 1 1 . t   d t + ∫ 1 t ' + 1 1 . ( - t + 2 )   d t

Lembrando que de 1 até t ' + 1 , h ( t ) é uma reta decrescente do tipo y = - x + 2

y t = - t 2 2 + t + 1 2

Para 1 < t < 2 :

y t = ∫ t ' - 1 1 1 . t   d t + ∫ 1 2 1 . ( - t + 2 )   d t

y t = - t 2 2 + t + 1 2

Por fim, para 2 < t < 3 :

y t = ∫ t ' - 1 2 1 . ( - t + 2 )   d t

y t = t 2 2 - 3 t + 9 2

Então:

y t = t + 1 2 2 ,   - 1 < t < 0 - t 2 2 + t + 1 2 ,   0 < t < 2 t 2 2 - 3 t + 9 2 ,   2 < t < 3 0 ,   c a s o   c o n t r á r i o

Resposta

a)

y t = t 2 2 ,   0 < t < 1 - t 2 2 + 2 t - 1 ,   1 < t < 2 1 ,   t > 2 0 ,   c a s o   c o n t r á r i o

b) y t = 2 - 2 e - t ,   t > 0

c) y t = t + 1 2 2 ,   - 1 < t < 0 - t 2 2 + t + 1 2 ,   0 < t < 2 t 2 2 - 3 t + 9 2 ,   2 < t < 3 0 ,   c a s o   c o n t r á r i o

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