Enunciado

Determine f ( t ) se

f (t) = (1)/(2 pi) int_(- oo)^(oo) F (omega) e^(j t omega) d omega ,

e

F (omega) = (4 + j omega)/(9 + j omega) pi delta (omega) .

Passo 1

Olá, meus amores. Como vocês estão? Preparados para mais uma questão delicinha? Então, vamos lá!

Essa questão tem cara de ser difícil, mas é muuuuuuuito simples, bastando que nós saibamos apenas o princípio básico de se calcular uma integral cujo integrando possui algum termo delta multiplicando.

Passo 2

É bastante usual que o delta de dirac venha em função de t , mas nesse caso o autor preferiu colocar a variável independente como sendo omega , o que pode assustar a princípio, fora esses limites infinitos, mas isso não importa e eu vou mostrar o porquê (junto e com acento).

Quando temos um delta de dirac multiplicando uma função, sua forma genérica é delta ( t - t_0 ) , mas como no nosso caso a variável é omega , então seria delta ( omega - omega_0 ) . No nosso caso só apareceu delta ( omega ) , o que significa que omega_0 = 0 .

Passo 3

Seguindo em frente, temos que ver se omega_0 in [ a , b ] , onde a e b são os limites inferior e superior de integração, respectivamente. Como os limites são infinitos e omega_0 = 0 é um número real, então a condição é verdadeira e o valor da integral consiste em substituirmos no integrando o omega_0 por 0 e calcular o valor da função.

f (t) = (1)/(2 pi) [(4 + j * 0)/(9 + j * 0) pi] e^(j * t * 0)

Perceba que não sabemos o valor de t , mas isso não importa, já que o expoente da exponencial dará 0, resultando em e^0 = 1 :

f (t) = (1)/(2 pi) * (4)/(9) * pi * 1

:. f (t) = (2)/(9)

Resposta

f (t) = (2)/(9)

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