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Determine f t para cada F s :

2 s 2 + 4 s + 1 s + 1 s + 2 3  

Passo 1

Pois bem, para calcular a transformada de Laplace inversa temos que simplificar ao máximo a função a fim de determinar algo que conhecemos. No nosso caso...

2 s 2 + 4 s + 1 s + 1 s + 2 3  

Podemos usar frações parciais para desmembrar essa fração aí em três frações (lembre-se) disso...

A s + 1 + B s + 2 + C s + 2 2 + D s + 2 3  

E duas que a gente consegue encontrar a Laplace inversa! Bora encontrar quem são A e B primeiro?

Passo 2

Então, colocando as três frações em uma só, colocando o mesmo denominador em todas elas...

A s + 1 + B s + 2 + C s + 2 2 + D s + 2 3 =

A s + 2 3 + B s + 1 s + 2 2 + C s + 1 s + 2 + D s + 1 s + 1 s + 2 3  

Igualando e cancelando o denominador...

2 s 2 + 4 s + 1 s + 1 s + 2 3 = A s + 2 3 + B s + 1 s + 2 2 + C s + 1 s + 2 + D s + 1 s + 1 s + 2 3     →

A s + 2 3 + B s + 1 s + 2 2 + C s + 1 s + 2 + D s + 1 = 2 s 2 + 4 s + 1

Resolvendo esses produtos aí...

A s 3 + 3 s 2 ⋅ 2 + 3 s ⋅ 2 2 + 2 3 + B s + 1 s 2 + 4 s + 4 + C s 2 + 2 s + s + 2 + D s + 1 = 2 s 2 + 4 s + 1 →

A s 3 + 6 s 2 + 12 s + 2 3 + B s 3 + 4 s 2 + 4 s + s 2 + 4 s + 4 + C s 2 + 3 s + 2 + D s + 1 = 2 s 2 + 4 s + 1 →

Simplificando...

A s 3 + 6 s 2 + 12 s + 8 + B s 3 + 5 s 2 + 8 s + 4 + C s 2 + 3 s + 2 + D s + 1 = 2 s 2 + 4 s + 1 →

A s 3 + 6 A s 2 + 12 A s + 8 A + B s 3 + 5 B s 2 + 8 B s + 4 B + C s 2 + 3 C s + 2 C + D s + D = 2 s 2 + 4 s + 1 →

Então organizando por s 3 , s 2 ,   s e constante...

A + B s 3 + 6 A + 5 B + C s 2 + 12 A + 8 B + 3 C + D s + 8 A + 4 B + 2 C + D = 2 s 2 + 4 s + 1   →

Onde podemos tirar da igualdade de polinômios visto que se não tem s 3 do lado esquerdo...

A + B = 0

6 A + 5 B + C = 2

12 A + 8 B + 3 C + D = 4  

8 A + 4 B + 2 C + D = 1

Resolvendo esse sisteminha substituindo A = - B na segunda...

- 6 B + 5 B + C = 2       →           - B + C = 2             →

C = 2 + B

Substituindo tudo na terceira...

12 A + 8 B + 3 C + D = 4         →       - 12 B + 8 B + 6 + 3 B + D = 4         →

- B + 6 + D = 4     →         D = - 2 + B

Substituindo tudo agora na última...

8 A + 4 B + 2 C + D = 1       →                     - 8 B + 4 B + 4 + 2 B - 2 + B = 1

B = 1

Então...

A = - 1 ,         C = 3             e           D = - 1

Ou seja, por frações parciais concluímos que...

2 s 2 + 4 s + 1 s + 1 s + 2 3 = - 1 s + 1 + 1 s + 2 + 3 1 s + 2 2 - 1 s + 2 3

Passo 3

Aplicando finalmente a transformada de Laplace inversa...

L - 1 J s = - L - 1 1 s + 1 + L - 1 1 s + 2 + 3 L - 1 1 s + 2 2 - L - 1 1 s + 2 3

Lembrando se de que:

L e - c t f t = F s + c

E também que L 1 = 1 / s , L t = 1 / s 2 e L t 2 = 2 / s 3 . Então...

L e - c t = 1 s + c         e           L e - c t t = 1 s + c 2           e             L e - c t t 2 = 2 s + c 3

Ou seja, no nosso caso...

L - 1 J s = - L - 1 1 s + 1 + L - 1 1 s + 2 + 3 L - 1 1 s + 2 2 - L - 1 1 s + 2 3 =

- e - t + e - 2 t + 3 e - 2 t t - e - 2 t t 2 2    

Resposta

- e - t + e - 2 t + 3 e - 2 t t - e - 2 t t 2 2

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