Determine o circuito equivalente de Thévenin para as partes dos circuitos vistos na Figura 18.121 externas aos elementos entre os pontos a e b.

Passo 1

Fala, pessoal! Mais uma questão de circuitos vindo por aí!

Começando pela letra A, vamos listar as impedâncias do circuito:

Z 1 = R 1 + j X L = 28,284   Ω   ፈ   45 °

Z 2 = R 2 = 68   Ω   ፈ   0 °

Z 3 = - j X C = 32   Ω   ፈ -   90 °

Como estamos interessados na parte externa ao terminal ab, podemos ignorar a impedância Z 3 . Para determinar a impedância Z T h , devemos desligar as fontes e analisar a impedância resultante. Lembre-se que as fontes de corrente viram um circuito aberto e as fontes de tensão um circuito fechado, ok?

Note que desligando a fonte I , Z 1 e Z 2 ficam em paralelo. Logo, teremos que:

Z T h = Z 1 | | Z 2 = ( 28,284   Ω   ፈ   45 ° ) ( 68   Ω   ፈ   0 ° ) ( 28,284   Ω   ፈ   45 ° ) + ( 68   Ω   ፈ   0 ° ) = 21 , 312   Ω   ፈ   32,196 °

Pela lei de Ohm, a tensão E T h é o produto da impedância Z T h pela corrente fornecida pela fonte I . Logo, temos que:

E T h = Z T h I = ( 21,312   Ω   ፈ   32,196 ° ) ( 0,1   A   ፈ   0 ° ) = 2,131   V   ፈ   32,196 °

Passo 2

Vamos então seguir para a letra B. As impedâncias do circuito são:

Z 1 = R 1 = 2   Ω   ፈ   0 °

Z 2 = j X L = 4   Ω   ፈ   90 °

Z 3 = - j X C 1 = 8   Ω   ፈ   - 90 °

Z 4 = R 2 = 10   Ω   ፈ   0 °

Z 5 = - j X C 2 = 6   Ω   ፈ - 90 °

A análise é similar, beleza? Vamos ignorar a impedância Z 5 pois ela é interna ao terminal ab. Desligando a fonte E , teremos as seguintes associações de impedância:

Z T h = ( ( Z 1 | | Z 2 ) + Z 4 ) | | Z 3 = ( ( 10   Ω   ፈ   0 ° ) + ( 2   Ω   ፈ   0 ° ) ( 4   Ω   ፈ   90 ° ) ( 2   Ω   ፈ   0 ° ) + ( 4   Ω   ፈ   90 ° ) )   | |   ( 8   Ω   ፈ   - 90 ° ) =

( 10   Ω   ፈ   0 ° + 1,789   Ω   ፈ   26,565 ° )   | |   ( 8   Ω   ፈ   - 90 ° ) = ( 11,628   Ω   ፈ   3,945 ° )   | |   ( 8   Ω   ፈ   - 90 ° )

= ( 11,628   Ω   ፈ   3,945 ° ) ( 8   Ω   ፈ   - 90 ° ) ( 11,628   Ω   ፈ   3,945 ° ) + ( 8   Ω   ፈ   - 90 ° ) = 6,813   Ω   ፈ   - 54,228 °

Observe que tensão E T h é igual a soma das tensões sobre as impedância Z 2   e Z 4 . Note que a tensão E se divide entre Z 2 e a associação das demais impedâncias. Logo, a tensão em Z 2   ( V 1 ) pode ser calculada utilizando o seguinte divisor de tensão:

V 1 = E Z 2 Z 2 +   Z 1 | | ( Z 3 + Z 4 ) = ( 50 V   ፈ   0 ° ) ( 4   Ω   ፈ   90 ° ) ( 4   Ω   ፈ   90 ° ) + ( 2   Ω   ፈ   0 ° ) | | ( 8   Ω   ፈ   - 90 °   +   10   Ω   ፈ   0 ° ) = 47,248   V   ፈ   24,7 °

Note que a tensão em Z 1   ( V 2 )   se divide entre Z 4 e Z 3 .

V 2 = E - V 1 = ( 50 V   ፈ   0 ° ) - ( 47,248   V   ፈ   24,7 ° ) = 20,972   V   ፈ   - 70,285 °

Logo, a tensão em Z 4   ( V 3 ) pode ser calculada utilizando o seguinte divisor de tensão:

V 3 = V 2 Z 4 Z 4 +     Z 3 = ( 20,972   V   ፈ   - 70,285 ° ) ( 10   Ω   ፈ   0 ° ) ( 10   Ω   ፈ   0 ° ) + ( 8   Ω   ፈ   - 90 ° ) = 16,377 V   ፈ     - 31 , 625 °

Portanto: E T h = V 1 + V 3 = ( 47,248   V   ፈ   24,7 ° ) + ( 16,377 V   ፈ     - 31 , 625 ° ) = 57,954   V   ፈ   11,099 °

Resposta

a. Z T h   = 21,312   Ω   ፈ   32,196 °

E T h = 2,131   V   ፈ   32,196 °

b. Z T h   = 6,813   Ω   ፈ   - 54,228 °

E T h = 57,954   V   ፈ   11,099 °