Enunciado

Determine F s dado que

f t = 5 t ,         0 < t < 1 - 5 t ,         1 < t < 2 0 ,           c a s o   c o n t r á r i o

Passo 1

A primeira coisa a se fazer em um problema como esse daí é desenhar essa f t colocando todas essa funções aí no plano x y :

Beleza, então para encontrar a transformada de Laplace de uma função definida por partes como essa da, devemos buscar a notação dela em forma de degrau.

Como dá para perceber no desenho, a função f tem 4 diferentes trechos:

  1. Trecho de - ∞ até 0
  2. Trecho de 0 até 1 .
  3. Trecho de 1 até 2 , e;
  4. Trecho de 2 até .

Vamos aqui analisando trecho por trecho e construindo a função f , ok?

Passo 2

TRECHO DE - ∞ ATÉ 1 & TRECHO DE 0 A 1 :

Bem, perceba que de - ∞ até 0 a função vale 0 e depois de 0 (antes de 1 ) ela começa a crescer de acordo com a reta 5 t . Isso pode ser escrito assim:

f t = 5 t u t

Passo 3

TRECHO DE 1 ATÉ 2 :

SHOW! Depois de 1 até chegar no 2 ela para de crescer com 5 t começa a decrescer com - 5 t . A forma de anotar isso usando degrau é assim:

  • Ela Para de Crescer com 5 t em t = 1 :
  • f t = 5 t u t - 5 t u 1 t

    Ora, isso significa que assim que t atinge 1 , esse segundo degrau vira 1 , e f t = 5 t - 5 t = 0 . Ou seja, a função de fato para de crescer, saca?

  • Ela Começa a Decrescer com - 5 t em t = 1 :
  • f t = 5 t u t - 5 t u 1 t - 5 t u 1 t

    Perceba então que além dela parar de crescer, ela começa a decrescer em t = 1 , e de fato isso acontece subtraindo novamente 5 t u 1 t , afinal, em t = 1 , todos os degrais são 1 : f t = 5 t - 5 t - 5 t = - 5 t

    Passo 4

    TRECHO DE 2 ATÉ O :

    Ora! Depois de t = 2 , a função para de decrescer novamente fica pra sempre 0 .

    Antes de 2 , ela decrescia de acordo com - 5 t , então, para faze-la parar de decrescer:

  • Função para de decrescer - 5 t em t = 2 :

f t = 5 t u t - 5 t u 1 t - 5 t u 1 t + 5 t u 2 t

Perceba que de fato está fazendo sentido, pois antes de t = 2 , o degrau em negrito ali é 0 , então ele não influencia em nada, mas depois de t = 2 , todos os degrais são 1 :

f t = 5 t - 5 t - 5 t + 5 t = 0

Passo 4

PRONTINHO! Podemos concluir então que a função f t é:

f t = 5 t ,         0 < t < 1 - 5 t ,         1 < t < 2 0 ,           c a s o   c o n t r á r i o                 o u

f t = 5 t u t - 5 t u 1 t - 5 t u 1 t + 5 t u 2 t =

5 t u t - 10 t u 1 t + 5 t u 2 t

Passo 5

Agora vamos aplicar a transformada de Laplace nela!

L f t = L 5 t u t - 10 t u 1 t + 5 t u 2 t =

5 L t u t - 10 L t u 1 t + 5 L t u 2 t

Ora, a transformada de qualquer função vezes t é...

L t f t = - d d s L f t

Logo...

L f t = 5 - d d s L u t - 10 - d d s L u 1 t + 5 - d d s L u 2 t

Então para calcular essas transformadas ali, precisamos saber quem é a transformada da função degrau:

L u c t = e - c s s

Então...

L f t = 5 - d d s e 0 s - 10 - d d s e - s s + 5 - d d s e - 2 s s   →

L f t = - 5 d d s 1 s + 10 d d s e - s s - 5 d d s e - 2 s s   →

Derivando o primeiro...

L f t = 5 s 2 + 10 d d s e - s s - 5 d d s e - 2 s s   →

Derivando o segundo e o terceiro aplicando a regra da fração...

L f t = 5 s 2 + 10 e - s ' s - e - s s ' s 2 - 5 e - 2 s ' s - e - 2 s s ' s 2   →

L f t = 5 s 2 + 10 - s e - s - e - s s 2 - 5 - 2 s e - s - e - 2 s s 2   →

Simplificando agora...

L f t = 5 s 2 + 10 - e - s s - e - s s 2 - 5 - 2 e - 2 s s - e - 2 s s 2   →

L f t = 5 s 2 - 10 e - s s - 10 e - s s 2 + 10 e - 2 s s + 5 e - 2 s s 2  

Resposta

L f t = 5 s 2 - 10 e - s s - 10 e - s s 2 + 10 e - 2 s s + 5 e - 2 s s 2  

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