a) Determine as expressões matemáticas para i L e v L após a chave ser fechada no circuito visto na figura 12.79

b) Determine iL e vL após duas constantes de tempo da fase de armazenamento

c) Escreva as expressões matemáticas para a corrente i L e para a tensão v L se a chave for aberta no instante definido no item (b)

d) Esboce as formas de onda de i L e v L para os itens (a) e (c)

Passo 1

a) E aeeeeeee! Vamos lá, temos esse circuito aqui:

Vamos reorganizar isso aí pra ficar mais simples de visualizar? Hahahaha podemos desenhar assim olha:

Como temos algumas fontes de tensão em série com resistores, podemos fazer a conversão para fontes de corrente, certo?

Para a fonte de 6 V , a fonte de corrente vai valer

i = V R = 6 3 k = 2 × 10 - 3   A

Já para a fonte de 20   V , temos

i = 20 4 k = 5 × 10 - 3   A

Aí o circuito fica assim:

Opa que ainda dá pra continuar simplificando, vem comigo!

Passo 2

A corrente equivalente no circuito é

I T = 5 m - 2 m = 3   m A

E a resistência equivalente vai ser

1 R T = 1 12 k + 1 3 k + 1 4 k + 1 1,5 k

O que nos dá:

R T = 0,75   k Ω

Olha que bonitinho que fica o circuito agora

E aí fazendo conversão de fonte para uma fonte de tensão em série com o resistor, temos

V = R . i = 0,75 k . 3 m = 2,25   V

E aí fica assim

Agora simmm, podemos encontrar as expressões de i L e v L hahahahaha

Passo 3

A primeira coisa que precisamos é o valor de τ , ele vai ser dado por

τ = L R

τ = 5 m 0,75 k = 6 , 67   μ s

Boaa, agora que temos o τ podemos encontrar as expressões que queremos. Para i L , vamos usar

i L = E R . 1 - e - t τ

i L = 2,25 0,75 k . 1 - e - t 6 , 67 μ

Então, a expressão de i L é

i L = 3 × 10 - 3 . 1 - e - t 6,67 μ

Passo 4

Para v L , podemos usar

v L = E . e - t / τ

Substituindo os valores, temos a expressão de v L

v L = 2,25 . e - t 6,67 μ

Passo 5

b) Agora é só a gente usar as expressões do item anterior substituindo t = 2 τ

Primeiro para i L :

i L ( 2 τ ) = 3 × 10 - 3 . 1 - e - 2 τ 6,67 μ

i L ( 2 τ ) = 3 × 10 - 3 . 1 - e - 2

Então:

i L 2 τ = 2 , 59   m A

Passo 6

Agora para v L :

v L = 2,25 . e - t 6,67 μ

v L ( 2 τ ) = 2,25 . e - 2

Então

v L 2 τ = 0,30   V

Passo 7

c) Agora é o seguinte: a chave vai ser aberta em t = 2 τ

Quando isso acontecer, temos R = 1,5   k e L = 5   m H , então nosso novo τ vai ser

τ 2 = 5 m 1,5 k = 3,33   μ s

Para encontrarmos as expressões de i L e de v L , precisamos do valor de i L e de V L em t = 2 τ

Para i L ( 2 τ ) , já calculamos no item anterior, vale 2 , 59   m A

Para V L em t = 2 τ , podemos fazer

V L = R . i

V L = 1,5 k . 2 , 59 m = 3,89   V

Então, quando a chave é aberta vamos ter

i L = 2,59 × 10 - 3 . 1 - e - t 3,33 μ

v L = - 3,89 e - t 3,33 μ

Sacou?

Passo 8

d) Por fim, vamos traçar os gráficos para as letras a e c:

E acabaaamos, fechou?

Resposta

a) i L = 3 × 10 - 3 . 1 - e - t 6,67 μ

v L = 2,25 . e - t 6,67 μ

b) i L 2 τ = 2 , 29   m A

v L 2 τ = 0,3   V

c) i L = 2,59 × 10 - 3 . 1 - e - t 3,33 μ

v L = - 3,89 e - t 3,33 μ

d)