a) Determine as expressões dos parâmetros g no domínio da frequência do circuito da Figura P18.37.

b) A porta 2 do quadripolo da Figura P18.37 é conectada a uma resistência de 500 V e a porta 1 é alimentada por degrau de tensão v1(t) = 4u(t) V. Determine v2(t) para t > 0, se C = 32 nF e L = 50 mH.

Passo 1

Falaaa, pessoal! Como vocês estão?

Bora pra mais uma questãozinha pra exercitar o que a gente sabe sobre Quadripolos!

  1. Inicialmente, temos:

g 11 = I 1 V 1 ​ I 2 = 0 ;

g 2 1 = V 2 V 1 ​ I 2 = 0 ;

Da ilustração, tiramos que:

V 1 I 1 = s L + 1 s C 1 / s C s L + 1 / s C = 1 C s 2 + 1 L C s s 2 + 2 / L C

Ou seja:

g 11 = C s s 2 + 2 L C s 2 + 1 / L C

Continuando:

V 2 = 1 / s C s L + 1 / s C V 1

Logo:

V 2 V 1 = 1 / L C s 2 + 1 L C

Logo:

g 2 1 = 1 / L C s 2 + 1 L C

Novamente, temos que:

g 1 2 = I 1 I 2 ​ V 1 = 0 ;

g 2 2 = V 2 I 2 ​ V 1 = 0 ;

Disso, tiramos que:

I 1 = - 1 / s C s L + 1 / s C I 2

Logo:

g 12 = - 1 / L C s 2 + 1 / L C

g 22 = 1 C s s 2 + 1 / L C

Resumindo:

g 11 = C s s 2 + 2 L C s 2 + 1 / L C

g 12 = - 1 / L C s 2 + 1 / L C

g 21 = 1 / L C s 2 + 1 L C

g 22 = 1 C s s 2 + 1 / L C

Passo 2

Temos que:

1 L C = 10 9 0,05 ( 32 ) = 625 x 10 6

Disso tiramos todas as coordenadas:

g 11 = 32 x 10 - 9 s ( s 2 + 1250 x 10 6 ) s 2 + 625 x 10 6

g 12 = - 625 x 10 6 s 2 + 625 x 10 6

g 21 = 625 x 10 6 s 2 + 625 x 10 6

g 22 = 3125 x 10 4 s s 2 + 625 x 10 6

Tendo esses dados, sabemos que:

V 2 V 1 = g 21 Z L g 22 + Z L = 625 x 10 6 s 2 + 625 x 10 6 500 3125 x 10 4 s s 2 + 625 x 10 6 + 500

V 2 V 1 = 625 x 10 6 s + 12500 s + 50000

Logo:

V 1 = 4 / s

V 2 = 4 s - 5,33 s + 12500 + 1,33 s + 50000

Por fim:

v 2 = 4 - 5,33 e - 12500 t + 1,33 e - 12500 t u t V

Resposta

  1. Item a:
  2. g 11 = C s s 2 + 2 L C s 2 + 1 / L C

    g 12 = - 1 / L C s 2 + 1 / L C

    g 21 = 1 / L C s 2 + 1 L C

    g 22 = 1 C s s 2 + 1 / L C

  3. Item b:

v 2 = 4 - 5,33 e - 12500 t + 1,33 e - 12500 t u t V