Determine os potenciais de Liénard-Wiechert para uma carga em movimento hiperbólico (Equação 10.45). Assuma que o ponto r está no eixo x e à direita da carga.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Devido às limitações deste site, usarei a letra l como a distância da fonte ao ponto de interesse. Os potenciais de Liénard-Wiechert são dados por:

V = 1 4 π ϵ 0 q c l c - l → ∙ v →     e   A → = v → c 2 V = μ 0 4 π q c v → l c - l → ∙ v →

O vetor l → é dado por

l → = r → - w → t r = x x ^ - b 2 + c t r 2 x ^

uma vez que o vetor r → está no eixo x, e à direita da partícula, então x > w t r . O tempo retardado é:

c t - t r = l = x - b 2 + c t r 2

Com isso, o t r nós temos que

t r = b 2 - x - c t 2 2 c x - c t

A velocidade e o vetor l → são colineares, então l c - l → ∙ v → = l ( c - v ) . O que se segue é apenas muita álgebra, nada extravagante.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade

v = w t r = c 2 t r b 2 + c t r 2  

Nesse caso, será igual a

v = c b 2 - x - c t 2 b 2 + x + c t 2

Portanto, a distância l é igual a

l = x - b 2 + c t r 2 = x - b 2 + x - c t 2 2 ( x - c t )

E o denominador

l c - v = x - b 2 + x - c t 2 2 x - c t c 1 - b 2 - x - c t 2 b 2 + x + c t 2

Que é igual a

l c - v = c x - c t x 2 - c 2 t 2 - b 2 b 2 + x - c t 2

Passo 3

Assim, os potenciais são:

V = q 4 π ϵ 0 b 2 + x - c t 2 ( x - c t ) ( x 2 - c 2 t 2 - b 2 )

E o vetor A →

A → = v → c 2 V = μ 0 q 4 π b 2 + x - c t 2 x - c t x 2 - c 2 t 2 - b 2 v x ^

Desenvolvendo os termos, nós temos que

A → = v → c 2 V = μ 0 q c 4 π b 2 + x - c t 2 x - c t x 2 - c 2 t 2 - b 2 x ^

Resposta

V = q 4 π ϵ 0 b 2 + x - c t 2 ( x - c t ) ( x 2 - c 2 t 2 - b 2 )

A → = v → c 2 V = μ 0 q c 4 π b 2 + x - c t 2 x - c t x 2 - c 2 t 2 - b 2 x ^