Determine as tensões nodais do circuito mostrado na figura 17.72.

a.

b.

Passo 1

Faaala, galerinha!! Bora resolver juntos essa questão??

Bom, antes de tudo, vamos resolver a letra a lembrando que os valores contidos nela são:

Z 1 = 5   Ω   ፈ   0 °

Z 2 = 6   Ω   ፈ   90 °

Z 3 = 4   Ω   ፈ - 90 °

Z 4 = 2   Ω   ፈ   0 °

E = 30   V   ፈ   50 °

I = 0,04   A   ፈ   90 °

Prontinho! Agora, vamos pensar juntos aqui em algumas coisinhas: a corrente, como temos I3 e I4 saindo de I1 e dividindo-se no nó, teremos que

I 1 = I 3 + I 4

Mas, precisamos encontrar os valores de I3 e I4. Em I3, temos a influência de v1 e z1. Já em I4, podemos aplicar a Lei de Kirchoff, de forma que a influência de v1 e v2 sejam (v1-v2)/z2. Assim, teremos que:

I 1 = V 1 / Z 1 + ( V 1 - V 2 ) / Z 2

Passo 2

Agora, vamos pensar pelo outro nó. Se olharmos no I4, ele também está se divergindo em I5 e I2. Sendo assim, teríamos, da mesma forma, que

I 4 = I 5 + I 2

Aplicando a Lei de Kirchoff, teríamos

( V 1 - V 2 ) / Z 2 = V 2 / Z 3 + I 2

Como queremos V1 e V2, e temos duas equações para duas incógnitas, podemos montar um sistema de equações, tendo que:

2 = V 1 * [ ( 1 / 5 ) + ( 1 / 6 ) ] - V 2 [ 1 / 4 ]

- 5 = V 2 * [ ( 1 / 5 ) + ( 1 / 2 ) ] - V 1 [ 1 / 5 ]

Agora, resolvendo esse sistema, teríamos que

V 1 = 19,86   V   ፈ   43,8 °

V 2 = 8,94   V   ፈ   106,9 °

Passo 3

Em b, nós temos um caso parecido.

Vamos organizar os valores:

Z 1 = 10   Ω   ፈ   0 °

Z 2 = 10   Ω   ፈ   0 °

Z 3 = 4   Ω   ፈ   90 °

Z 4 = 2   Ω   ፈ   0 °

Z 4 = 8   Ω   ፈ   - 90 °

E = 50   V   ፈ   120 °

I = 0,8   A   ፈ   70 °

Temos pela Lei de Kirchoff de correntes, que:

I 1 + I 2 + I 3 + I 4 = 0

Sendo assim, substituindo por suas devidas equações:

I 1 + V 1 / Z 1 + ( V 1 - V 2 ) / Z 2 + I 2 = 0

Da mesma forma, temos que:

I 5 = I 2 + I 4

V 2 / Z 3 = I 2 + ( V 1 - V 2 ) / Z 2

Prontinho! Montamos as equações, como em a.

Passo 4

Agora, precisamos resolver o sistema de equações, tendo que:

0,8 + V 1 / 10 + ( V 1 - V 2 ) / 8 + 5 = 0

4 + ( V 1 - V 2 ) / 2 - V 2 / 4,8 = 0

Resolvendo essas continhas, teremos:

V 1 = 19,78   V   ፈ   132,48 °

V 2 = 13,37   V   ፈ   98,78 °

Prontinho!! Encontramos tudo que nos foi pedido na letra a e b! Bora juntos pra próxima??

Resposta

a.

V 1 = 19,86   V   ፈ   43,8 °

V 2 = 8,94   V   ፈ   106,9 °

b.

V 1 = 19,78   V   ፈ   132,48 °

V 2 = 13,37   V   ፈ   98,78 °