Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos - Capítulo 15.Problemas - Ex. 5a

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Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções:

  1. t 2 cos ⁡ 2 t + 30 ° u t
  2. 3 t 4 e - 2 t u t
  3. 2 t u t - 4 d d t δ t
  4. 2 e - t - 1 u t
  5. 5 u t / 2
  6. 6 e - t 3 u t
  7. d n d t n δ t

Passo 1

Antes de qualquer coisa, observe que a função que precisamos buscar a Laplace é multiplicada por um degrau que começa em 0 :

u t = u 0 t

Toda vez que a gente tem um degrau do tipo, é como se não tivesse, ok? Então...

L t 2 cos ⁡ 2 t + 30 ° u t =

L t 2 cos ⁡ 2 t + 30 °

Isso já simplifica um pouquinho, né? Agora, ainda temos um t 2 multiplicando o cosseno ali. O que isso significa em termos de Laplace? Ora, de acordo com a teoria...

L t n g t = - 1 n d n d s n L g t

Então...

L t 2 cos ⁡ 2 t + 30 ° = - 1 2 d 2 d s 2 L cos ⁡ 2 t + 30 °

Então, bora encontrar a transformada desse cosseno aí?

Passo 2

Ora, esse cosseno tem uma soma dentro dele. Se recordando lá da trigonometria, o cosseno da soma nada mais é que...

cos ⁡ x + y = cos ⁡ x cos ⁡ y - sin ⁡ x sin ⁡ y   →

cos ⁡ 2 t + 30 ° = cos ⁡ 2 t cos ⁡ 30 ° - sin ⁡ 2 t sin ⁡ 30 °

Ora, o cosseno e o seno de 30 ° são conhecidos:

cos ⁡ 2 t + 30 ° = 3 2 cos ⁡ 2 t - 1 2 sin ⁡ 2 t

Aplicando agora a Laplace então...

L cos ⁡ 2 t + 30 ° = 3 2 L cos ⁡ 2 t - 1 2 L sin ⁡ 2 t →

Bem, a Laplace do seno e cosseno é conhecida, então...

L cos ⁡ 2 t + 30 ° = 3 2 ⋅ s s 2 + 2 2 - 1 2 ⋅ 2 s 2 + 2 2   →

L cos ⁡ 2 t + 30 ° = 3 s - 2 2 s 2 + 2 2

Passo 3

Aplicando agora a derivada para o cálculo da Laplace com o t 2 multiplicando...

L t 2 cos ⁡ 2 t + 30 ° = - 1 2 d 2 d s 2 L cos ⁡ 2 t + 30 °   →

L t 2 cos ⁡ 2 t + 30 ° = d 2 d s 2 3 s - 2 2 s 2 + 2 2   →

L t 2 cos ⁡ 2 t + 30 ° = 1 2 ⋅ d 2 d s 2 3 s - 2 s 2 + 2 2  

Vamos calcular então a primeira derivada lembrando-se da regra da fração:

d d s 3 s - 2 s 2 + 2 2 = 3 s - 2 ' s 2 + 2 2 - 3 s - 2 s 2 + 2 2 ' s 2 + 2 2 2   →

d d s 3 s - 2 s 2 + 2 2 = 3 s 2 + 2 2 - 2 3 s - 2 s s 2 + 2 2 2   →

Simplificando agora:

d d s 3 s - 2 s 2 + 2 2 = 3 s 2 + 4 3 - 2 3 s 2 - 4 s s 2 + 2 2 2   →

d d s 3 s - 2 s 2 + 2 2 = - 3 s 2 - 4 s + 4 3 s 2 + 2 2 2  

Beleza, agora vamos derivar novamente:

d d s - 3 s 2 - 4 s + 4 3 s 2 + 2 2 2 = - 3 s 2 - 4 s + 4 3 ' s 2 + 2 2 2 - - 3 s 2 - 4 s + 4 3 s 2 + 2 2 2 ' s 2 + 2 2 2 2   →

d d s - 3 s 2 - 4 s + 4 3 s 2 + 2 2 2 = - 2 3 s - 4 s 2 + 2 2 2 - - 3 s 2 - 4 s + 4 3 ⋅ 2 s 2 + 2 2 ⋅ 2 s s 2 + 2 2 4   →

Colocando s 2 + 2 2   em evidência:

d d s - 3 s 2 - 4 s + 4 3 s 2 + 2 2 2 = s 2 + 2 2 - 2 3 s - 4 s 2 + 2 2 - 4 s - 3 s 2 - 4 s + 4 3 s 2 + 2 2 4   →

d d s - 3 s 2 - 4 s + 4 3 s 2 + 2 2 2 = - 2 3 s - 4 s 2 + 2 2 - 4 s - 3 s 2 - 4 s + 4 3 s 2 + 2 2 3   →

Multiplicando isso aí para tirar desses parênteses...

d d s - 3 s 2 - 4 s + 4 3 s 2 + 2 2 2 = - 2 3 s 3 - 8 3 s - 4 s 2 - 4 ⋅ 2 2 + 4 3 s 3 + 16 s 2 - 16 3 s s 2 + 2 2 3   →

d d s - 3 s 2 - 4 s + 4 3 s 2 + 2 2 2 = 2 3 s 3 + 12 s 2 - 24 3 s - 16 s 2 + 2 2 3  

Então...

L t 2 cos ⁡ 2 t + 30 ° u t = 2 3 s 3 + 12 s 2 - 24 3 s - 16 s 2 + 2 2 3

Resposta

L t 2 cos ⁡ 2 t + 30 ° u t = 2 3 s 3 + 12 s 2 - 24 3 s - 16 s 2 + 2 2 3

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