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Determine a transformada de Laplace Inversa de:

6 s - 1 s 4 - 1

Passo 1

Pois bem, para calcular a transformada de Laplace inversa temos que simplificar ao máximo a função a fim de determinar algo que conhecemos. No nosso caso...

6 s - 1 s 4 - 1  

Podemos começar fatorando esse denominador lembrando-se de que...

a 2 - b 2 = a + b a - b

Então...

s 4 - 1 = s 2 2 - 1 2 →

s 2 + 1 s 2 - 1

Novamente, podemos fatorar s 2 - 1 ...

s 2 + 1 s + 1 s - 1  

Então...

6 s - 1 s 4 - 1 = 6 s - 1 s 2 + 1 s + 1 s - 1 =

Essa é a função que devemos procurar à inversa:

6 s 2 + 1 s + 1  

No nosso caso, devemos separar em frações parciais (mas lembre-se de que quando temos um termo quadrático no denominador, em cima fica dele fica uma reta B s + D no caso):

A s + 1 + B s + C s 2 + 1  

Passo 2

Então, colocando as duas frações em uma só, colocando o mesmo denominador...

A s + 1 + B s + C s 2 + 1 =

A s 2 + 1 + B s + C s + 1 s 2 + 1 s + 1  

Igualando e cancelando o denominador...

6 s 2 + 1 s + 1 = A s 2 + 1 + B s + C s + 1 s 2 + 1 s + 1 →

A s 2 + 1 + B s + C s + 1 = 6

Então...

A s 2 + A + B s 2 + B s + C s + C = 6 →

A + B s 2 + B + C s + A + C = 6 →

Onde podemos tirar da igualdade de polinômios...

A + B = 0

B + C = 0

A + C = 6

Resolvendo esse sisteminha...

A = - B       e     C = - B             →         - B - B = 6         →         B = - 3  

Então...

B = - 3 ,           A = 3               e           C = 3

Ou seja, por frações parciais concluímos que é...

6 s 2 + 1 s + 1 =   3 s + 1 + - 3 s + 3 s 2 + 1

Passo 3

Ta chegando a algo que a gente conhece, não é verdade?

Agora separando as frações...

3 s + 1 + - 3 s + 3 s 2 + 1 = 3 1 s + 1 - 3 s s 2 + 1 + 3 1 s 2 + 1

Porque agora precisamos buscar a inversa de todo mundo...

L - 1 6 s - 1 s 4 - 1 = 3 L - 1 1 s + 1 - 3 L - 1 s s 2 + 1 + 3 L - 1 1 s 2 + 1 =

Essas Laplaces inversas são todas conhecidas:

3 e - t - 3 cos ⁡ t + 3 sin ⁡ t  

Resposta

3 e - t - 3 cos ⁡ t + 3 sin ⁡ t  

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