Enunciado

Determine a transformada de Laplace inversa de:

a) H s = s + 4 s ( s + 2 )

b) G s = s 2 + 4 s + 5 ( s + 3 ) ( s 2 + 2 s + 2 )

c) F s = e - 4 s s + 2

d) D s = 10 s ( s 2 + 1 ) ( s 2 + 4 )

Passo 1

a) Para encontrarmos a transformada inversa de Laplace, primeiro vamos separar o que temos em frações parciais, pois temos termos sendo multiplicados no denominador, assim:

s + 4 s ( s + 2 ) = A s + B s + 2

Precisamos encontrar A e B certo? Primeiro vamos somar as duas frações fazendo o MMC dos denominadores:

s + 4 s ( s + 2 ) = A s + 2 + B s s ( s + 2 )

Opa, dos dois lados temos o mesmo denominador, então vamos cortar:

s + 4 = A s + 2 + B s

s + 4 = A s + 2 A + B s

Colocando s em evidência:

1 s + 4 = A + B s + 2 A

Passo 2

Agora é o seguinte: como temos uma igualdade, vamos igualar tudo que ta multiplicando s no lado esquerdo com o lado direito e depois igualar todos os termos independentes (constantes), assim ó:

1 = A + B     ( i )

4 = 2 A   ( i i )

Da equação ( i i ) , temos que A = 2 .

Substituindo na equação ( i ) :

1 = 2 + B

B = - 1

Aee, achamos A e B , então:

s + 4 s ( s + 2 ) = 2 s - 1 s + 2

Agora é só acharmos a transformada inversa disso :P

Passo 3

A transformada inversa de 1 s é u ( t ) , então a inversa de 2 s é 2 u ( t ) ok?

Igualmente, a transformada inversa de 1 s + 1 é e - t u ( t ) , logo, a inversa de 1 s + 2 é e - 2 t u ( t ) .

Assim, nossa transformada inversa é:

h t = 2 u t - e - 2 t u ( t )

h t = u t . ( 2 - e - 2 t )

Passo 4

b) Vamos fazer frações parciais novamente:

s 2 + 4 s + 5 ( s + 3 ) ( s 2 + 2 s + 2 ) = A s + 3 + B s + C s 2 + 2 s + 2

Lembrando: quando o denominador tiver grau igual a 2, vamos remanejar o numerador para um polinômio de grau 1, como fizemos com a segunda fração.

Somando as frações (lembre-se do MMC viu?):

s 2 + 4 s + 5 ( s + 3 ) ( s 2 + 2 s + 2 ) = A s 2 + 2 s + 2 + ( B s + C ) ( s + 3 ) ( s + 3 ) ( s 2 + 2 s + 2 )

s 2 + 4 s + 5 = A s 2 + 2 s + 2 + ( B s + C ) ( s + 3 )

Abrindo as contas:

s 2 + 4 s + 5 = A s 2 + 2 A s + 2 A + B s 2 + 3 B s + C s + 3 C

Vamos organizar os termos:

s 2 + 4 s + 5 = ( A + B ) s 2 + ( 2 A + 3 B + C ) s + 2 A + 3 C

Passo 5

Agora, igual no item anterior, vamos igualar o que ta multiplicando s ² , o que ta multiplicando s e os termos independentes (constantes).

Isso nos dá o sistema de 3 equações e 3 incógnitas:

A + B = 1 2 A + 3 B + C = 4 2 A + 3 C = 5

Resolvendo esse sistema, temos:

A = 2 5 = 0.4 B = 3 5 = 0.6 C = 7 5 = 1.4

Logo:

s 2 + 4 s + 5 ( s + 3 ) ( s 2 + 2 s + 2 ) = 0.4 s + 3 + 0.6 s + 1.4 s 2 + 2 s + 2

Passo 6

Podemos escrever assim:

G s = 0.4 s + 3 + 0.6 s + 0.6 + 0.8 s 2 + 2 s + 1 + 1

(Pois 0.6 + 0.8 = 1.4 e s + 1 2 = s 2 + 2 s + 1 )

E então, simplificar o numerador e denominador da segunda fração

G s = 0.4 s + 3 + 0.6 ( s + 1 ) + 0.8 ( s + 1 ) ² + 1

G s = 0.4 s + 3 + 0.6 ( s + 1 ) ( s + 1 ) ² + 1 + 0.8 ( s + 1 ) ² + 1

Lembrando que fizemos todas essas mudanças e simplificações na segunda fração apenas para chegarmos em um modelo de transformada de Laplace que esteja na tabela, para encontrarmos a sua inversa ok?

Comparando G ( s ) com as transformadas inversas da tabela, temos:

g t = 0.4 e - 3 t + 0.6 e - 1 t . cos ⁡ 1 t + 0.8 e - 1 t . sen ⁡ 1 t

Passo 7

c) Vamos usar a seguinte regra:

Seja L - 1 F s = f 1 ( t ) , teremos que L - 1 e - a s F s = f 1 ( t - a ) u ( t - a )

No nosso caso, F s = 1 s + 2 , que é multiplicado por e - 4 s , então

f 1 t = L - 1 F s = e - 2 t

Então:

L - 1 e - 4 s F s = f ( t ) = f 1 ( t - 4 ) u ( t - 4 )

f ( t ) = e - 2 ( t - 4 ) u ( t - 4 )

Passo 8

d) De novo nas frações parciais hehe

10 s ( s 2 + 1 ) ( s 2 + 4 ) = A s + B s 2 + 1 + C s + D s 2 + 4

Somando as frações:

10 s ( s 2 + 1 ) ( s 2 + 4 ) = A s + B s 2 + 4 + ( C s + D ) ( s 2 + 1 ) ( s 2 + 1 ) ( s 2 + 4 )

10 s = A s + B s 2 + 4 + ( C s + D ) ( s 2 + 1 )

10 s = A s 3 + 4 A s + B s 2 + 4 B + C s 3 + C s + D s 2 + D

Agrupando os termos:

10 s = s 3 A + C + s 2 B + D + s 4 A + C + 4 B + D

Passo 9

Igual nos itens anteriores, vamos igualar os termos:

A + C = 0 B + D = 0 4 A + C = 10 4 B + D = 0

Da primeira equação, temos C = - A , substituindo na terceira:

4 A - A = 10

3 A = 10

A = 10 3

Então, C = - 10 3 .

Da segunda equação, temos que B = - D , mas na quarta, temos 4 B = - D , então, B e D só podem ser 0 :) Logo:

10 s ( s 2 + 1 ) ( s 2 + 4 ) = 10 3 s s 2 + 1 - 10 3 s s 2 + 4

D s = 10 3 s s 2 + 1 - 10 3 s s 2 + 4

Então nossa transformada inversa é:

d t = 10 3 cos ⁡ t - 10 3 c o s ⁡ ( 2 t )

Resposta

a) h t = u t . ( 2 - e - 2 t )

b) g t = 0.4 e - 3 t + 0.6 e - 1 t . cos ⁡ 1 t + 0.8 e - 1 t . sen ⁡ 1 t

c) f ( t ) = e - 2 ( t - 4 ) u ( t - 4 )

d) d t = 10 3 cos ⁡ t - 10 3 c o s ⁡ ( 2 t )

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