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Determine a transformada de Laplace inversa de cada uma das seguintes funções:

J s = 12 s + 2 2 s + 4

Passo 1

Pois bem, para calcular a transformada de Laplace inversa temos que simplificar ao máximo a função J a fim de determinar algo que conhecemos. No nosso caso...

J s = 12 s + 2 2 s + 4

Podemos usar frações parciais para desmembrar essa fração aí em três frações (lembre-se) disso...

J s = A s + 2 + B s + 2 2 + C s + 4

E duas que a gente consegue encontrar a Laplace inversa! Bora encontrar quem são A e B primeiro?

Passo 2

Então, colocando as três frações em uma só, colocando o mesmo denominador em todas elas...

A s + 2 + B s + 2 2 + C s + 4 = A s + 2 s + 4 s + 2 2 s + 4 + B s + 4 s + 2 2 s + 4 + C s + 2 2 s + 4 s + 2 2 =

A s + 2 s + 4 + B s + 4 + C s + 2 2 s + 2 2 s + 4  

Igualando e cancelando o denominador...

12 s + 2 2 s + 4 = A s + 2 s + 4 + B s + 4 + C s + 2 2 s + 2 2 s + 4     →

A s + 2 s + 4 + B s + 4 + C s + 2 2 = 12

Resolvendo esses produtos aí...

A s 2 + 4 s + 2 s + 8 + B s + 4 + C s 2 + 4 s + 4 = 12   →

A s 2 + 6 A s + 8 A + B s + 4 B + C s 2 + 4 C s + 4 C = 12   →

Então organizando por s 2 ,   s e constante...

A + C s 2 + 6 A + B + 4 C s + 8 A + 4 B + 4 C = 12   →

Onde podemos tirar da igualdade de polinômios visto que se não tem s 2 e nem s do lado esquerdo...

A + C = 0

6 A + B + 4 C = 0

8 A + 4 B + 4 C = 12

Resolvendo esse sisteminha substituindo A = - C na segunda...

- 6 C + B + 4 C = 0       →             - 2 C + B = 0             →

B = 2 C

Substituindo tudo na terceira...

8 A + 4 B + 4 C = 12         →         - 8 C + 8 C + 4 C = 12         →

C = 3

B = 2 C = 6

A = - C = - 3

Ou seja, por frações parciais concluímos que J s é...

J s = 12 s + 2 2 s + 4 = - 3 s + 2 + 6 s + 2 2 + 3 s + 4

Passo 3

Aplicando finalmente a transformada de Laplace inversa...

L - 1 J s = - 3 L - 1 1 s + 2 + 6 L - 1 1 s + 2 2 + 3 L - 1 1 s + 4

Lembrando se de que:

L e - c t f t = F s + c

E também que L 1 = 1 / s e L t = 1 / s 2 . Então...

L e - c t = 1 s + c         e           L e - c t t = 1 s + c 2

Ou seja, no nosso caso...

L - 1 J s = - 3 L - 1 1 s + 2 + 6 L - 1 1 s + 2 2 + 3 L - 1 1 s + 4 =

- 3 e - 2 t + 6 e - 2 t t + 3 e - 4 t  

Resposta

L - 1 J s = - 3 e - 2 t + 6 e - 2 t t + 3 e - 4 t

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